Bài 4 trang 91 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho góc vuông $xOy$, điểm $A$ thuộc tia $Ox$, điểm $B$ thuộc tia $Oy.$ Đường trung trực của đoạn thẳng $OA$ cắt $Ox$ ở $D$, đường thẳng trung trực của đoạn thẳng $OB$ cắt $Oy$ ở $E.$ Gọi $C$ là giao điểm của hai đường trung trực đó. Chứng minh rằng:

a) $CE = OD$;                b) $CE ⊥ CD$;

c) $CA = CB$;                 d) $CA // DE$;

e) Ba điểm $A, B, C$ thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

 

a) Vì $Ox \perp  Oy$ và $CE \perp  Oy$ $\Rightarrow EC // Ox$   (1)$\Rightarrow \widehat {ODE} = \widehat {CED}$ (so le trong)

Vì $Oy \perp  Ox$ và $CD \perp  Ox$ $\Rightarrow DC // Oy$   (2) $\Rightarrow \widehat {CDE} = \widehat {OED}$ (so le trong)

Xét  $\Delta DOE$ và $\Delta ECD$ có:

+) $DE$ chung

+) $\widehat {OED}=\widehat {CDE}$ (chứng minh trên)

+) $\widehat {ODE} = \widehat {CED}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow \Delta DOE = \Delta ECD$  (g.c.g).

$\Rightarrow OD = CE$ (hai cạnh tương ứng)

b) Ta có $CE // Ox$ (do (1)). Mà $CD \perp  Ox$ 

$\Rightarrow CD \perp  CE$ (đpcm).

c) Vì $C$ nằm trên đường trung trực của $OA$ nên $CA = CO$ (Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng) (3)

    Vì $C$ nằm trên đường trung trực của $OB$ nên $CB = CO$ (Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)  (4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow CA = CB$ (điều phải chứng minh).

d) Xét hai tam giác vuông $DAC$ và $CED$ ta có:

+) $CD$ cạnh chung

+) $\widehat {ADC} = \widehat {ECD} = 90^o$

+) $AD = CE$ (do $OD = DA = CE$)

Vậy $∆DAC = ∆CED$ (c.g.c)

$\Rightarrow \; \widehat {ACD} = \widehat {EDC}$ (hai góc tương ứng).

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

$\Rightarrow CA // DE$ (đpcm).

e) Chứng minh tương tự như câu d $\Rightarrow CB // DE$.

Xét hai tam giác $CEB$ và $DOE$ ta có:

+) $OE=EB$ (do E là trung điểm cạnh OB)

+) $\widehat {CEB} = \widehat {DOE} = 90^o$

+) $OD = CE$ (theo câu a)

Vậy $∆CEB = ∆DOE$ (c.g.c)

$\Rightarrow \; \widehat {DEO} = \widehat {CBE}$ (hai góc tương ứng).

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị 

$\Rightarrow CB // DE$

Do đó theo tiên đề Ơ-clit ta được hai đường thẳng $BC$ và $CA$ trùng nhau hay $A, B, C$ thẳng hàng.