Bài 4 trang 85 - Bài tập cuối chương 3 - SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + 2{\rm{x}} + m}&{khi\,\,x \ge 2}\\3&{khi\,\,x < 2}\end{array}} \right.$ liên tục tại $x = 2$ khi:

A. $m = 3$.                            

B. $m = 5$.                            

C. $m =  - 3$.                         

D. $m =  - 5$.

Lời giải chi tiết

Trên các khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$, $f\left( x \right)$ là hàm đa thức nên liên tục trên từng khoảng $\left( { - \infty ;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

Ta có: $f\left( 2 \right) = {2^2} + 2.2 + m = m + 8$

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + m} \right) = {2^2} + 2.2 + m = m + 8\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( 3 \right) = 3\end{array}$

Để hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục liên tục tại $x = 2$ thì

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow m + 8 = 3 \Leftrightarrow m =  - 5$.

Vậy với $m =  - 5$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại $x = 2$.

Chọn D.