Bài 4 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó.

a) ${u_n} = 3 - 4n$;      

b) ${u_n} = \frac{n}{2} - 4$;                             

c) ${u_n} = {5^n}$; d) ${u_n} = \frac{{9 - 5n}}{3}$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: ${u_{n + 1}} = 3 - 4\left( {n + 1} \right) = 3 - 4n - 4 =  - 1 - 4n$

Xét hiệu: ${u_{n + 1}} - {u_n} = \left( { - 1 - 4n} \right) - \left( {3 - 4n} \right) =  - 1 - 4n - 3 + 4n =  - 4$

Vậy dãy số là cấp số cộng có công sai $d =  - 4$.

b) Ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{2} - 4 = \frac{n}{2} + \frac{1}{2} - 4 = \frac{n}{2} - \frac{7}{2}$

Xét hiệu: ${u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {\frac{n}{2} - \frac{7}{2}} \right) - \left( {\frac{n}{2} - 4} \right) = \frac{n}{2} - \frac{7}{2} - \frac{n}{2} + 4 = \frac{1}{2}$

Vậy dãy số là cấp số cộng có công sai $d = \frac{1}{2}$.

c) Ta có: ${u_1} = {5^1} = 5;{u_2} = {5^2} = 25;{u_3} = {5^3} = 125$

Vì ${u_2} - {u_1} = 20;{u_3} - {u_2} = 100$ nên dãy số không là cấp số cộng.

d) Ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{{9 - 5\left( {n + 1} \right)}}{3} = \frac{{9 - 5n - 5}}{3} = \frac{{4 - 5n}}{{3}}$

Xét hiệu: ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{4 - 5n}}{3} - \frac{{9 - 5n}}{3} = \frac{{\left( {4 - 5n} \right) - \left( {9 - 5n} \right)}}{3} = \frac{{4 - 5n - 9 + 5n}}{3} =  - \frac{5}{3}$

Vậy dãy số là cấp số cộng có công sai $d =  - \frac{5}{3}$.