Giải bài 4 trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Giải phương trình $\displaystyle {{2\cos 2x} \over {1 - \sin 2x}} = 0$

Lời giải chi tiết

Điều kiện: $\sin 2x\neq 1\Leftrightarrow 2x\neq \dfrac{\pi }{2}+k2 \pi$ $\Leftrightarrow x\neq \dfrac{\pi }{4}+k \pi(k\in \mathbb{Z})$

$\displaystyle {{2\cos 2x} \over {1 - \sin 2x}} = 0$

$\Rightarrow 2\cos 2x=0$ 

$\Leftrightarrow \cos 2x = 0$

$\Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in Z} \right)$

Kiểm tra ĐK:

$\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2} \ne \dfrac{\pi }{4} + l\pi$

$\Leftrightarrow \dfrac{{k\pi }}{2} \ne l\pi$

$\Leftrightarrow \dfrac{k}{2} \ne l$

$\Leftrightarrow k \ne 2l$

Hay $k$ không thể nhận các giá trị chẵn.

Do đó k lẻ nên $k = 2m + 1$.

Vậy $x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\left( {2m + 1} \right)\pi }}{2} = \dfrac{{3\pi }}{4} + m\pi$.

Vậy phương trình có nghiệm $x = \dfrac{{3\pi }}{4} + m\pi ,m\in Z$.

Chú ý: Nghiệm $x = \dfrac{{3\pi }}{4} + m\pi$ cũng có thể viết thành $x =  - \dfrac{\pi }{4} + n\pi$ bằng cách đặt $m = n - 1$.

Các em cũng có thể vẽ đường tròn đơn vị để loại nghiệm như sau:

Các điểm biểu diễn $x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi$ là ${M_1},{M_2}$ nhưng điều kiện là $x \ne \dfrac{\pi }{4} + k\pi$ nên hai điểm này không lấy.

Các điểm biểu diễn $x = \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}$ là ${M_1},{M_2},{M_3},{M_4}$ nhưng do không lấy hai điểm ${M_1},{M_2}$ nên các điểm biểu diễn nghiệm chỉ còn ${M_3},{M_4}$.

Dễ thấy hai điểm này đối xứng nhau qua $O$ và $\widehat {AO{M_4}} =  - \dfrac{\pi }{4}$ nên nghiệm của phương trình là $x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Loigiaihay.com