Bài 4 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi ${G_1}$ và ${G_2}$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác $BDA'$ và $B'D'C$. Chứng minh ${G_1}$ và ${G_2}$ chia đoạn $AC$ thành ba phần bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Gọi $O = AC \cap B{\rm{D}},O' = A'C' \cap B'{\rm{D}}',I = AC' \cap A'C$

Vì $AA'\parallel CC',AA' = CC'$ theo tính chất hình hộp nên $AA'C'C$ là hình bình hành $\Rightarrow I$ là trung điểm của $AC'$ và $A'C$.

Ta có: ${G_1}$ là trọng tâm của tam giác $BDA' \Rightarrow \frac{{A'{G_1}}}{{A'O}} = \frac{2}{3}$

Tam giác $AA'C$ có $\frac{{A'{G_1}}}{{A'O}} = \frac{2}{3}$ nên ${G_1}$ là trọng tâm của tam giác $AA'C$

Mà $I$ là trung điểm của $A'C$ nên $\frac{{A{G_1}}}{{AI}} = \frac{2}{3} \Rightarrow A{G_1} = \frac{2}{3}AI$

Mà $AI = \frac{1}{2}AC'$

$\Rightarrow A{G_1} = \frac{1}{3}AC'\left( 1 \right)$

Ta có: ${G_2}$ là trọng tâm của tam giác $B'D'C \Rightarrow \frac{{C{G_2}}}{{CO'}} = \frac{2}{3}$

Tam giác $ACC'$ có $\frac{{C{G_2}}}{{CO'}} = \frac{2}{3}$ nên ${G_2}$ là trọng tâm của tam giác $ACC'$

Mà $I$ là trung điểm của $AC'$ nên $\frac{{C'{G_2}}}{{C'I}} = \frac{2}{3} \Rightarrow C'{G_2} = \frac{2}{3}C'I$

Mà $C'I = \frac{1}{2}AC'$

$\Rightarrow C'{G_2} = \frac{1}{3}AC'\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra ${G_1}$ và ${G_2}$ chia đoạn $AC$ thành ba phần bằng nhau.