Bài 2 trang 120 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình bình hành có $O$ là giao điểm của hai đường chéo. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,SD$.

a) Chứng minh rằng $\left( {OMN} \right)\parallel \left( {SBC} \right)$.

b) Gọi $E$ là trung điểm của $AB$ và $F$ là một điểm thuộc $ON$. Chứng minh $EF$ song song với $\left( {SBC} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) $O$ là trung điểm của $AC$ (theo tính chất hình bình hành)

$M$ là trung điểm của $SA$

$\Rightarrow OM$ là đường trung bình của tam giác $SAC$

$\left. \begin{array}{l} \Rightarrow OM\parallel SC\\SC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow OM\parallel \left( {SBC} \right)$

$O$ là trung điểm của $B{\rm{D}}$ (theo tính chất hình bình hành)

$N$ là trung điểm của $SD$

$\Rightarrow ON$ là đường trung bình của tam giác $SB{\rm{D}}$

$\left. \begin{array}{l} \Rightarrow ON\parallel SB\\SB \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow ON\parallel \left( {SBC} \right)$

$\left. \begin{array}{l}OM\parallel \left( {SBC} \right)\\ON\parallel \left( {SBC} \right)\\OM,ON \subset \left( {OMN} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {OMN} \right)\parallel \left( {SBC} \right)$

b) $O$ là trung điểm của $AC$ (theo tính chất hình bình hành)

$E$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow OE$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

$\left. \begin{array}{l} \Rightarrow OE\parallel BC\\BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow OE\parallel \left( {SBC} \right)$

Do $\left( {OMN} \right)\parallel \left( {SBC} \right)$ nên $E \in \left( {OMN} \right)$

Ta có:

$\left. \begin{array}{l}EF \subset \left( {OMN} \right)\\\left( {OMN} \right)\parallel \left( {SBC} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow EF\parallel \left( {SBC} \right)$