Bài 4 trang 100 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho điểm \(A(1 ; 3)\) và đường thẳng \(\Delta : x - 2y + 1 = 0\). Viết phương trình đường thẳng đối xứng với \(\Delta \) qua \(A.\)

Lời giải chi tiết

Cách 1:Thay tọa độ điểm \(A\) vào \(\Delta \), ta có \(1 - 2.3 + 1 =  - 4 \ne 0\),  suy ra \(A \notin \Delta \).

Lấy \(M(1 ; 1) \in \Delta \). Khi đó điểm \(M’\) đối xứng với \(M\) qua \(A\) có tọa độ \(M’=(1 ; 5)\). Đường thẳng \(\Delta '\) đối xứng với \(\Delta \) qua \(A\) sẽ đi qua \(M’\) và song song với \(\Delta \). Từ đó ta có phương trình của \(\Delta '\) là \(x-2y+9=0.\)

Cách 2: Xét điểm \(M(x_1 ; y_1)\) tùy ý thuộc \(\Delta \) và gọi \(M’(x_2 ; y_2)\) là điểm đối xứng của \(M\) qua \(A\). Suy ra \({x_1} = 2 - {x_2} ;  {y_1} = 6 - {y_2}\).

\(\begin{array}{l}M \in \Delta     \Leftrightarrow   {x_1} - 2{y_1} + 10\\     \Leftrightarrow   2 - {x_2} - 2(6 - {y_2}) + 1 = 0\\                  \Leftrightarrow   {x_2} - 2{y_2} + 9 = 0\\                 \Leftrightarrow   M' \in \Delta ' : x - 2y + 9 = 0.\end{array}\)

Loigiaihay.com