Bài 37 trang 36 SGK giải tích 12 nâng cao

LG a

$y = x + \sqrt {{x^2} - 1}$

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)$
* $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {y \over x}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {1 + {{\sqrt {{x^2} - 1} } \over x}} \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {1 + \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 2$
$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - 2x} \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1}  - x} \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1}  + x}} = 0$
Ta có tiệm cận xiên $y = 2x$ (khi $x \to  + \infty$)
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1}  - x}} = 0$

Ta có tiệm cận ngang $y = 0$ (khi $x \to  - \infty$)

LG b

$y = \sqrt {{x^2} - 4x + 3}$

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D = \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)$
* $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {y \over x}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{\sqrt {{x^2} - 4x + 3} } \over x}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}}  = 1$
$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - x} \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 3}  - x} \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{ - 4x + 3} \over {\sqrt {{x^2} - 4x + 3}  + x}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{ - 4 + {3 \over x}} \over {\sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}}  + 1}} =  - 2$
Ta có tiệm cận xiên $y = x -2$ (khi $x \to  + \infty$).
* $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {y \over x}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{\sqrt {{x^2} - 4x + 3} } \over x}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{ - x\sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} } \over x}$ $=  - \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}}  =  - 1$

$\eqalign{ & b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y + x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 3} + x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 4x + 3} \over {\sqrt {{x^2} - 4x + 3} - x}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 4x + 3} \over { - x\sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} - x}} \cr  & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 4 + {3 \over x}} \over { - \sqrt {1 - {4 \over x} + {3 \over {{x^2}}}} - 1}}\cr&  = {{ - 4} \over { - 2}} = 2 \cr}$

Tiệm cận xiên: $y = -x + 2$ (khi $x \to  - \infty$).

LG c

$y = \sqrt {{x^2} + 4}$

Lời giải chi tiết:

TXD: $D =\mathbb R$
* $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {y \over x}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {1 + {4 \over {{x^2}}}}  = 1$
$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - x} \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 4}  - x} \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {4 \over {\sqrt {{x^2} + 4}  + x}} = 0$
Tiệm cận xiên $y = x$ (khi $x \to  + \infty$)
* $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {y \over x}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty }- \sqrt {1 + {4 \over {{x^2}}}}  =  - 1$
$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {y + x} \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 4}  + x} \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {4 \over {\sqrt {{x^2} + 4}  - x}} = 0$

Tiệm cận xiên $y = -x$ (khi $x \to  - \infty$)

LG d

$y = {{{x^2} + x + 1} \over {{x^2} - 1}}$

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}$
* Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} \over {1 - {1 \over {{x^2}}}}} = 1$
Tiệm cận ngang: $y = 1$ (khi $x \to  - \infty$ và $x \to  + \infty$)
* $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} =  + \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} =  - \infty$ nên $x = 1$ là tiệm cận đứng.
Tương tự: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} y =  - \infty$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ - }} y =  + \infty$ nên $x = -1$ là tiệm cận đứng.

Loigiaihay.com