Bài 36 trang 35 SGK giải tích 12 nâng cao

LG a

$\,y = \sqrt {{x^2} - 1} \,\,$;

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D =\mathbb R\backslash ( - \infty ;1{\rm{]}} \cup {\rm{[}}1; + \infty )$
* Tiệm cận xiên khi $x \to  + \infty$
Ta có: $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{\sqrt {{x^2} - 1} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{x\sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \over x}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}}  = 1$
$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1}  - x} \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} - 1 - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 1}  + x}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1}  + x}} = 0$
Vậy đường thẳng $y = x$ là tiệm cận xiên của đồ thị khi $x \to  + \infty$.
* Tiệm cận xiên khi $x \to  - \infty$
$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{\sqrt {{x^2} - 1} } \over x}  = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{\left| x \right|\sqrt {1 - \frac{1}{{{x^2}}}} }}{{\sqrt {{x^2} - 1}  + x}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{ - x\sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \over x} =  - \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}}$ $=  - 1$
$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1}  + x} \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{{x^2} - 1 - {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} - 1}  - x}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1}  - x}} = 0$
Vậy đường thẳng $y = -x$ là tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x \to  - \infty$).

LG b

$y = 2x + \sqrt {{x^2} - 1}$

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D =\mathbb R\backslash ( - \infty ;1{\rm{]}} \cup {\rm{[}}1; + \infty )$
* Tiệm cận xiên khi $x \to  + \infty$
Ta có: $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2 + {{\sqrt {{x^2} + 1} } \over x}} \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {2 + \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 3$
$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - 3x} \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {2x + \sqrt {{x^2} - 1}  - 3x} \right]$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1}  - x} \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1}  + x}} = 0$
Vậy đường thẳng $y = 3x$ là tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x \to  + \infty$).
* Tiệm cận xiên khi $x \to  - \infty$
$a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {2 + {{\sqrt {{x^2} + 1} } \over x}} \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {2 - \sqrt {1 - {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 1$
$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {y - x} \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {2x + \sqrt {{x^2} - 1}  - x} \right]$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} - 1}  + x} \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{ - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 1}  - x}} = 0$
Vậy đường thẳng $y = x$ là tiệm cận xiên của đồ thị (khi $x \to  - \infty$)

LG c

$y = x + \sqrt {{x^2} + 1}$

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D =\mathbb R$
* Tiệm cận xiên khi $x \to  + \infty$

$\eqalign{ & a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {y \over x} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + {{\sqrt {{x^2} + 1} } \over x}} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 2 \cr  & b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - 2x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} + x}} = 0 \cr}$

Đường thẳng $y = 2x$ là tiệm cận xiên (khi $x \to  + \infty$)
* Tiệm cận khi $x \to  - \infty$
$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {1 \over {x - \sqrt {{x^2} - 1} }} = 0$

Đường thẳng $y = 0$ là tiệm cận ngang (khi $x \to  - \infty$)

LG d

$y = \sqrt {{x^2} + x + 1}$.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D =\mathbb R$
* $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {y \over x}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + x + 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}}  = 1$

$\eqalign{ & b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 1} - x} \right) \cr  & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x + 1} \over {\sqrt {{x^2} + x + 1} + x}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 + {1 \over x}} \over {\sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} }+1} = {1 \over 2} \cr}$

Đường thẳng $y = x + {1 \over 2}$ là tiệm cận xiên (khi $x \to  + \infty$)
* $a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{\sqrt {{x^2} + x + 1} } \over x}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{ - x\sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} } \over x}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } -\sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}}  =  - 1$
$b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {y + x} \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 1}  + x} \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{x + 1} \over {\sqrt {{x^2} + x + 1}  - x}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{1 + {1 \over x}} \over { - \sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} }-1} =  - {1 \over 2}$

Đường thẳng $y =  - x - {1 \over 2}$ là tiệm cận xiên (khi $x \to  - \infty$)

Loigiaihay.com