Bài 35 trang 43 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài tập Bài 35 trang 43 SBT Hình học 10 Nâng cao

Quảng cáo

Đề bài

Cho điểm \(M\) nằm trong góc \(\widehat {xOy}\) và gọi \(M_1, M_2\) lần lượt là hình chiếu của \(M\) trên \(Ox, Oy.\)

a) Vẽ đường tròn \((C)\) qua \(M_1, M_2\), đường tròn này cắt hai cạnh \(Ox, Oy\) lần lượt ở \(N_1, N_2\). Kẻ đường thẳng vuông góc với \(Ox\) ở \(N_1\) và đường thẳng vuông góc với \(Oy\) ở \(N_2\), giả sử hai đường thẳng đó cắt nhau ở \(N\). Chứng minh \(ON \bot {M_1}{M_2}\).

b) Chứng minh rằng khi \((C)\) thay đổi nhưng vẫn đi qua \(M_1\) và \(M_2\) thì điểm \(N\) luôn thuộc một tia \(Oz\) cố định và \(\widehat {zOy} = \widehat {MO{N_1}}\).

Lời giải chi tiết

(h.41).

 

a) Ta có \(\overrightarrow {O{M_1}} .\overrightarrow {O{N_1}}  = \overrightarrow {O{M_2}} .\overrightarrow {O{N_2}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(*)\)

Xét tích vô hướng

\(\overrightarrow {ON} .\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \overrightarrow {ON} .\left( {\overrightarrow {O{M_2}}  - \overrightarrow {O{M_1}} } \right)\)

\(= \overrightarrow {ON} .\overrightarrow {O{M_2}}  - \overrightarrow {ON} .\overrightarrow {O{M_1}} .\)

Do \(\overrightarrow {O{N_1}} \) là hình chiếu của \(\overrightarrow {ON} \) trên Ox nên \(\overrightarrow {ON} .\overrightarrow {O{M_1}}  = \overrightarrow {O{N_1}} .\overrightarrow {O{M_1}} .\)

Tương tự \(\overrightarrow {ON} .\overrightarrow {O{M_2}}  = \overrightarrow {O{N_2}} .\overrightarrow {O{M_2}} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(**)\)

Từ (*), (**) suy ra \(\overrightarrow {ON} .\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = 0\) hay \(ON \bot {M_1}{M_2}\).

b) Theo câu a), \(N\) thuộc tia \(Oz\) cố định (vuông góc với \(M_1M_2\)).

Lại có \(\widehat {zOy} = \widehat {{M_1}{M_2}M}\) (do \(Oz \bot {M_2}{M_1}\,,\,\,Oy \bot {M_2}M\)).

Mặt khác, \(OM_1MM_2\) là tứ giác nội tiếp  (\(\widehat {O{M_1}M} = \widehat {O{M_2}M} = {90^0}\)) nên \(\widehat {{M_1}{M_2}M} = \widehat {{M_1}OM}\). Từ đó suy ra \(\widehat {zOy} = \widehat {MO{N_1}}\).

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close