Bài 33 trang 54 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Chứng tỏ rằng nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có nghiệm là ${x_1}$ và ${x_2}$ thì tam thức  $a{x^2} + bx + c$ phân tích được thành nhân tử như sau:

$a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2})$.

Áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử.

a)$2{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3$

b) ${\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}2$

Lời giải chi tiết

Vì $x_1;x_2$ là hai nghiệm của phương trình $ax^2+bx+c=0$ nên theo hệ thức Vi-ét ta có

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{b}{a}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.$ 

Xét $a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2})$.

Biến đổi vế phải: 

$a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2}){\rm{ }}$

$= a\left( {{x^2} - x{x_2} - x{x_1} + {x_1}{x_2}} \right)$

$= {\rm{ }}a{x^2}-{\rm{ }}a({x_1} + {\rm{ }}{x_2})x{\rm{ }} + {\rm{ }}a{x_1}{x_2}$

$\displaystyle = a{x^2} - a\left( { - {b \over a}} \right)x + a{c \over a} = a{x^2} + bx + c$

Vậy phương trình $a{x^2} + bx + c = 0$ có nghiệm là ${x_1},{x_2}$ thì:

$a{x^2} + {\rm{ }}bx{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}a(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_1})(x{\rm{ }}-{\rm{ }}{x_2})$.      

Áp dụng:

a) Phương trình $2{x^2}-{\rm{ }}5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0$ có $a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0$ nên có hai nghiệm là $\displaystyle {x_1} = 1,{x_2} = {\rm{ }}{3 \over 2}$ nên:

$\displaystyle 2{x^2}{\rm{  + }}5x + 3 = 2(x{\rm{ - }}1)(x - {\rm{ }}{3 \over 2}) = (x - 1)(2x - 3)$

b) Phương trình  ${\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}2=0$ có $a = 3, b = 8, b’ = 4, c = 2$.

Nên $\Delta' {\rm{ }} = {\rm{ }}{4^2}-{\rm{ }}3{\rm{ }}.{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}10$ suy ra phương trình có hai nghiệm là:

${x_1}$ = $\dfrac{-4 - \sqrt{10}}{3}$, ${x_2}$= $\dfrac{-4 + \sqrt{10}}{3}$

nên: $\displaystyle 3{x^2} + 8x + 2 = 3(x - {\rm{ }}{{ - 4 - \sqrt {10} } \over 3})(x - {\rm{ }}{{ - 4 + \sqrt {10} } \over 3})$

$\displaystyle  = 3(x + {\rm{ }}{{4 + \sqrt {10} } \over 3})(x + {\rm{ }}{{4 - \sqrt {10} } \over 3})$ 

Loigiaihay.com