Bài 32 trang 43 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Trong đường tròn \(C(O ; R)\) cho hai dây cung \(AA’, BB’\) vuông góc với nhau ở điểm \(S\) và gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Chứng minh rằng \(SM \bot A'B'\).

Lời giải chi tiết

(h.38).

Xét tích vô hướng

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {A'B'}\\  = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB} } \right)\left( {\overrightarrow {SB'}  - \overrightarrow {SA'} } \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB'}  - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SA'}  + \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SB'}  - \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SA'} } \right).\end{array}\)

Ta có

\(\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB'}  = 0\) do \(SA \bot SB'\),

\(\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SA'}  = 0\) do \(SB \bot SA'\),

\(\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SA'}  = \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SB'} \).

Từ đó suy ra \(\overrightarrow {SM} .\overrightarrow {A'B'}  = 0\), nên \(SM \bot A'B'\).

Loigiaihay.com