Bài 31 trang 43 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài tập Bài 31 trang 43 SBT Hình học 10 Nâng cao

Quảng cáo

Đề bài

Cho hai đường tròn không đồng tâm \((O ; R)\) và \((O’ ; R’)\). Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \({\wp _{M/(O ; R)}} = {\wp _{M/(O' ; R')}}.\)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{\wp _{M/(O ; R)}} = {\wp _{M/(O' ; R')}}\\ \Leftrightarrow   M{O^2} - {R^2} = MO{'^2} - R{'^2}\\ \Leftrightarrow   {\overrightarrow {MO} ^2} - {\overrightarrow {MO'} ^2} = {R^2} - R{'^2}\\ \Leftrightarrow   \left( {\overrightarrow {MO}  - \overrightarrow {MO'} } \right).\left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {MO'} } \right)\\ = {R^2} - R{'^2}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow   2\overrightarrow {O'O} .\overrightarrow {MI}  = {R^2} - R{'^2}\), trong đó \(I\) là trung điểm  của \(OO’\).

Lấy \(H\) là hình chiếu của điểm \(M\) trên đường thẳng \(OO’\), ta có

\( \overrightarrow {O'O} .\overrightarrow {MI}  = \overrightarrow {O'O} .\overrightarrow {HI}  = \overrightarrow {OO'} .\overrightarrow {IH} .\)

Từ đó suy ra \(\overline {IH}  = \dfrac{{{R^2} - R{'^2}}}{{2\overline {OO'} }}\) không đổi nên \(H\) là điểm cố định.

Vậy \({\wp _{M/(O ; R)}} = {\wp _{M/(O' ; R')}}\) khi và chỉ khi \(M \) thuộc đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với đường thẳng \(OO’\) tại điểm cố định \(H\).

Đường thẳng \(\Delta \) được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn đã cho.

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close