Bài 31 trang 19 SGK Toán 9 tập 1

LG a

So sánh $\sqrt{25 - 16}$ và $\sqrt {25}  - \sqrt {16}$

Phương pháp giải:

Tính cụ thể từng kết quả rồi so sánh

Lời giải chi tiết:

Ta có:

+) $\sqrt {25 - 16} = \sqrt 9 =\sqrt{3^2}= 3.$  
+) $\sqrt {25} - \sqrt {16}$$= \sqrt{5^2}-\sqrt{4^2}$$=5 - 4 = 1$.

Vì $3>1 \Leftrightarrow \sqrt {25 - 16}>\sqrt {25} - \sqrt {16}$.

Vậy $\sqrt {25 - 16}  > \sqrt {25}  - \sqrt {16}$

LG b

Chứng minh rằng: với $a > b >0$ thì $\sqrt a  - \sqrt b  < \sqrt {a - b}$

Phương pháp giải:

+) Định lí so sánh hai căn bậc hai số học của hai số không âm:

$a< b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b$.

+) $\sqrt{ a^2} = a$,  với $a \ge 0$. 

+) Sử dụng kết quả bài 26 trang 16 SGK toán 9 tập 1: Với hai số dương $a,b$ ta có: $\sqrt {a + b}  < \sqrt a  + \sqrt b$

Lời giải chi tiết:

Bài ra cho $a > b > 0$ nên $\sqrt a ,\sqrt b$ và $\sqrt {a - b}$ đều xác định và dương.

Ta sẽ so sánh $\sqrt a$ với $\sqrt {a - b}  + \sqrt b$ 

Theo kết quả bài 26 trang 16 SGK toán 9 tập 1, với hai số dương $a-b$ và $b,$ ta sẽ có:

$\sqrt {a - b}  + \sqrt b  > \sqrt {a - b + b}$ 

Suy ra: 

$\sqrt {a - b}  + \sqrt b  > \sqrt a  \Leftrightarrow \sqrt {a - b}  > \sqrt a  - \sqrt b$

Vậy $\sqrt a  - \sqrt b  < \sqrt {a - b}$ với $a > b > 0.$ 

Cách khác 1: 

Với $a > b > 0$ ta có $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt a  > \sqrt b \\a - b > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt a  - \sqrt b  > 0\\\sqrt {a - b}  > 0\end{array} \right.$ 

Xét $\sqrt a  - \sqrt b  < \sqrt {a - b}$ , bình phương hai vế ta được ${\left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)^2} < {\left( {\sqrt {a - b} } \right)^2}$$\Leftrightarrow {\left( {\sqrt a } \right)^2} - 2.\sqrt a .\sqrt b  + {\left( {\sqrt b } \right)^2} < a - b$

$\Leftrightarrow a - 2\sqrt {ab}  + b < a - b$$\Leftrightarrow 2b - 2\sqrt {ab}  < 0$

$\Leftrightarrow 2\sqrt b \left( {\sqrt b  - \sqrt a } \right) < 0$  luôn đúng vì  $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt b  > 0\\\sqrt b  - \sqrt a  < 0\,\left( {do\,0 < b < a} \right)\end{array} \right.$

Vậy $\sqrt a  - \sqrt b  < \sqrt {a - b}$ với $a > b > 0.$

Cách khác 2:

Bài ra cho $a > b > 0$ nên $\sqrt a ,\sqrt b$ và $\sqrt {a - b}$ đều xác định và dương.

Ta sẽ so sánh $\sqrt a$ với $\sqrt {a - b}  + \sqrt b$

Ta có $\sqrt {a - b}  + \sqrt b$ là số dương và

${\left( {\sqrt {a - b}  + \sqrt b } \right)^2}$$= a - b + 2\sqrt {b\left( {a - b} \right)}  + b$$= a + 2\sqrt {b\left( {a - b} \right)}$ 

Rõ ràng  $2\sqrt {b(a - b)}  > 0$ nên ${\left( {\sqrt {a - b}  + \sqrt b } \right)^2} > a$   (1)

Ta có $\sqrt a$ là số không âm và ${\left( {\sqrt a } \right)^2} = a$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra

${\left( {\sqrt {a - b}  + \sqrt b } \right)^2} > {\left( {\sqrt a } \right)^2}$      (3)

Từ (3) theo định lí so sánh các căn bậc hai số học, ta suy ra

$\sqrt {{{\left( {\sqrt {a - b}  + \sqrt b } \right)}^2}}  > \sqrt {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2}}$

Hay $\left| {\sqrt {a - b}  + \sqrt b } \right| > \left| {\sqrt a } \right|$

Hay $\sqrt {a - b}  + \sqrt b  > \sqrt a$

Từ kết quả $\sqrt a  < \sqrt {a - b}  + \sqrt b$, ta có $\sqrt a  - \sqrt b  < \sqrt {a - b}$

Loigiaihay.com