Bài 30 trang 79 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Chứng minh định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, cụ thể là:

Nếu \(\widehat{ BAx}\) (với đỉnh \(A\) nằm trên một đường tròn, một cạnh chứa dây cung \(AB\)), có số đo bằng nửa số đo của \(\overparen{AB}\) căng dây đó và cung này nằm bên trong góc đó thì cạnh \(Ax\) là một tia tiếp tuyến của đường tròn (h.29).

                   

Lời giải chi tiết

Cách 1 (hình a). Chứng minh trực tiếp

                    

Kẻ \(OH \bot AB\) tại \(H\) và cắt \((O)\) tại \(C\) như hình vẽ.

Suy ra \(H\) là trung điểm của \(AB\) và \(C\) là điểm chính giữa cung \(AB\).

Theo giả thiết ta có: \(\widehat {BAx} = \dfrac{1}{2}sđ \overparen{AB}.\) ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung AB)

Lại có: \(  \widehat {{O_1}}=sđ \overparen{AC}= \dfrac{1}{2}sđ \overparen{AB} \) (góc ở tâm chắn cung \(AC\)).

Suy ra: \(\widehat {BAx} = \widehat {{O_1}}.\) 

Ta có: \(\widehat {{O_1}}+ \widehat {{OAB}} =90^0\) (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông \(OAH\)).

\(\Rightarrow \widehat {BAx}+ \widehat {{OAB}} =90^0  \) hay  \(OA \bot Ax.\) 

Vậy \(Ax\) phải là tiếp tuyến của \((O)\) tại \(A.\)

Cách 2 (hình b) Chứng minh bằng phản chứng.

           

Nếu cạnh \(Ax\) không phải là tiếp tuyến tại \(A\) mà là cát tuyến đi qua \(A\) và giả sử nó cắt \((O)\) tại \(C\) thì \(\widehat {BAC} \) là góc nội tiếp. 

Điều này trái với giả thiết. Vậy cạnh kia không thể là cát tuyến, mà phải là tiếp tuyến \(Ax.\)