Bài 3 trang 80 SGK Hình học 10

LG a

Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng $AB, BC$, và $CA.$

Phương pháp giải:

Cách lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$:

+ Tìm tọa độ $\overrightarrow {AB}$ từ đó suy ra VTPT của $AB$.

+ Lập PTTQ: $a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0$

Lời giải chi tiết:

+) Phương trình $AB$.

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 5} \right)$

Đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 5} \right)$ làm VTCP nên nhận $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {5;2} \right)$ làm VTPT

Mà $AB$ đi qua $A\left( {1;4} \right)$ nên PTTQ: $5\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 4} \right) = 0$ hay $5x + 2y - 13 = 0$

+) Phương trình $AC$.

Ta có: $\overrightarrow {AC}  = \left( {5; - 2} \right)$

Đường thẳng $AC$ nhận $\overrightarrow {AC}  = \left( {5; - 2} \right)$ làm VTCP nên nhận $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;5} \right)$ làm VTPT

Mà $AC$ đi qua $A\left( {1;4} \right)$ nên PTTQ: $2\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y - 4} \right) = 0$ hay $2x + 5y - 22 = 0$

+) Phương trình $BC$.

Ta có: $\overrightarrow {BC}  = \left( {3;3} \right)$

Đường thẳng $BC$ nhận $\overrightarrow {BC}  = \left( {3;3} \right) = 3\left( {1;1} \right)$ làm VTCP nên nhận $\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {1; - 1} \right)$ làm VTPT

Mà $BC$ đi qua $B\left( {3; - 1} \right)$ nên PTTQ: $1\left( {x - 3} \right) - 1\left( {y + 1} \right) = 0$ hay $x - y - 4 = 0$

Cách khác:

Phương trình đường thẳng $AB:  \dfrac{x-1}{3-1}=\dfrac{y-4}{-1-4}$

$\Leftrightarrow  \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-4}{-5}$ $\Leftrightarrow 5x+2y-13=0.$

Tương tự ta có:

phương trình đường thẳng $BC: x - y -4 = 0$

phương trình đường thẳng $CA: 2x + 5y -22 = 0$

LG b

Lập phương trình tổng quát của đường cao $AH$ và trung tuyến $AM.$

Phương pháp giải:

+) Đường cao AH là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC  hay nhận VTCP của BC là VTPT.

+) Đường trung tuyến AM là đường thẳng đi qua A và trung điểm M của BC.

Lời giải chi tiết:

Đường cao $AH$ là đường thẳng đi qua $A(1; 4)$ và vuông góc với $BC$.

$\vec{BC} = (3; 3)$

${AH}  ⊥ {BC}$ nên AH nhận vectơ $\vec{n} = (3; 3)$ làm vectơ pháp tuyến và có phương trình tổng quát:

$AH : 3(x - 1) + 3(y -4) = 0$

$\Leftrightarrow 3x + 3y - 15 = 0$

$\Leftrightarrow x + y - 5 = 0$

Gọi $M$ là trung điểm $BC$ ta có

$\left\{ \begin{array}{l} {x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = \frac{{3 + 6}}{2} = \frac{9}{2}\\ {y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac{{ - 1 + 2}}{2} = \frac{1}{2} \end{array} \right.$

Do đó $M (\dfrac{9}{2}; \dfrac{1}{2})$

$\Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( {\dfrac{7}{2}; - \dfrac{7}{2}} \right) = \dfrac{7}{2}\left( {1; - 1} \right)$

Trung tuyến $AM$ là đường thẳng đi qua điểm $A(1;4)$ và nhận $\overrightarrow {u_4}   = \dfrac{2}{7}\overrightarrow {AM} = \left( {1; - 1} \right)$ làm VTCP nên nhận $\overrightarrow {{n_4}}  = \left( {1;1} \right)$ làm VTPT

PTTQ: $1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 4} \right) = 0$ hay $x + y - 5 = 0$.

Loigiaihay.com