Bài 3 trang 80 SGK Hình học 10

LG a

Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng \(AB, BC\), và \(CA.\)

Phương pháp giải:

Cách lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A,B\):

+ Tìm tọa độ \(\overrightarrow {AB} \) từ đó suy ra VTPT của \(AB\).

+ Lập PTTQ: \(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\)

Lời giải chi tiết:

+) Phương trình \(AB\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 5} \right)\)

Đường thẳng \(AB\) nhận \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 5} \right)\) làm VTCP nên nhận \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {5;2} \right)\) làm VTPT

Mà \(AB\) đi qua \(A\left( {1;4} \right)\) nên PTTQ: \(5\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 4} \right) = 0\) hay \(5x + 2y - 13 = 0\)

+) Phương trình \(AC\).

Ta có: \(\overrightarrow {AC}  = \left( {5; - 2} \right)\)

Đường thẳng \(AC\) nhận \(\overrightarrow {AC}  = \left( {5; - 2} \right)\) làm VTCP nên nhận \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;5} \right)\) làm VTPT

Mà \(AC\) đi qua \(A\left( {1;4} \right)\) nên PTTQ: \(2\left( {x - 1} \right) + 5\left( {y - 4} \right) = 0\) hay \(2x + 5y - 22 = 0\)

+) Phương trình \(BC\).

Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \left( {3;3} \right)\)

Đường thẳng \(BC\) nhận \(\overrightarrow {BC}  = \left( {3;3} \right) = 3\left( {1;1} \right)\) làm VTCP nên nhận \(\overrightarrow {{n_3}}  = \left( {1; - 1} \right)\) làm VTPT

Mà \(BC\) đi qua \(B\left( {3; - 1} \right)\) nên PTTQ: \(1\left( {x - 3} \right) - 1\left( {y + 1} \right) = 0\) hay \(x - y - 4 = 0\)

Cách khác:

Phương trình đường thẳng \(AB:  \dfrac{x-1}{3-1}=\dfrac{y-4}{-1-4}\)

\(\Leftrightarrow  \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-4}{-5}\) \( \Leftrightarrow 5x+2y-13=0. \)

Tương tự ta có:

phương trình đường thẳng \(BC: x - y -4 = 0\)

phương trình đường thẳng \(CA: 2x + 5y -22 = 0\)

LG b

Lập phương trình tổng quát của đường cao \(AH\) và trung tuyến \(AM.\)

Phương pháp giải:

+) Đường cao AH là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC  hay nhận VTCP của BC là VTPT.

+) Đường trung tuyến AM là đường thẳng đi qua A và trung điểm M của BC.

Lời giải chi tiết:

Đường cao \(AH\) là đường thẳng đi qua \(A(1; 4)\) và vuông góc với \(BC\).

\(\vec{BC} = (3; 3)\)

\({AH}  ⊥ {BC}\) nên AH nhận vectơ \(\vec{n} = (3; 3)\) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình tổng quát:

\(AH : 3(x - 1) + 3(y -4) = 0\)

\(\Leftrightarrow 3x + 3y - 15 = 0\)

\(\Leftrightarrow x + y - 5 = 0\)

Gọi \(M\) là trung điểm \(BC\) ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_M} = \frac{{{x_B} + {x_C}}}{2} = \frac{{3 + 6}}{2} = \frac{9}{2}\\
{y_M} = \frac{{{y_B} + {y_C}}}{2} = \frac{{ - 1 + 2}}{2} = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\)

Do đó \(M (\dfrac{9}{2}; \dfrac{1}{2})\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( {\dfrac{7}{2}; - \dfrac{7}{2}} \right) = \dfrac{7}{2}\left( {1; - 1} \right)\)

Trung tuyến \(AM\) là đường thẳng đi qua điểm \(A(1;4)\) và nhận \(\overrightarrow {u_4}   = \dfrac{2}{7}\overrightarrow {AM} = \left( {1; - 1} \right)\) làm VTCP nên nhận \(\overrightarrow {{n_4}}  = \left( {1;1} \right)\) làm VTPT

PTTQ: \(1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 4} \right) = 0\) hay \( x + y - 5 = 0\).

Loigiaihay.com