Bài 5 trang 80 SGK Hình học 10

LG a

$d_1: 4x - 10y + 1 = 0$;

$d_2 : x + y + 2 = 0$

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng: ${d_1}:\;\;ax + by + c = 0,$ ${d_2}:\;\;a'x + b'y + c' = 0.$ Khi đó: 

+) ${d_1}  \cap  {d_2}:\;\;\dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}.$

+) ${d_1}//{d_2}:\;\;\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}.$

+) ${d_1} \equiv {d_2}:\;\;\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}.$

Lời giải chi tiết:

 Xét hệ $\left\{\begin{matrix} 4x-10y + 1= 0& \\ x + y + 2 = 0& \end{matrix}\right.$

Ta có: $\dfrac{4}{1} \ne \dfrac{{ - 10}}{1} \Rightarrow {d_1} \cap {d_2}.$

Vậy $d_1$ và $d_2$ cắt nhau.

Chú ý:

Có thể bấm máy tính giải hệ trên ra nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( { - \dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)$ suy ra hai đường thẳng cắt nhau.

Khi giải hệ cần chuyển vế như sau rồi mới bấm máy: 

$\left\{ \begin{array}{l} 4x - 10y = - 1\\ x + y = - 2 \end{array} \right.$

Bấm MODE 5 1 rồi nhập lần lượt các hệ số:

4   -10   -1

1     1    -2

Sau đó sẽ ra nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( { - \frac{3}{2}; - \frac{1}{2}} \right)$.

LG b

$d_1  :12x - 6y + 10 = 0$;

$d_2:\left\{\begin{matrix} x= 5+t& \\ y= 3+2t& \end{matrix}\right.$

Phương pháp giải:

Viết lại $d_2$ về dạng tổng quát và nhận xét các bộ tỉ số.

Lời giải chi tiết:

Viết $d_2:\left\{\begin{matrix} x= 5+t& \\ y= 3+2t& \end{matrix}\right.$ dưới dạng tổng quát.

$\begin{array}{l} {d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 5 + t\\ y = 3 + 2t \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x = 10 + 2t\\ y = 3 + 2t \end{array} \right.\\ \Rightarrow 2x - y = 7\\ \Leftrightarrow 2x - y - 7 = 0 \end{array}$

Do đó $d_2: 2x - y - 7 = 0.$

Ta có: $\dfrac{{12}}{2} = \dfrac{{ - 6}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{10}}{{ - 7}} \Rightarrow {d_1}//{d_2}.$

Vậy $d_1// d_2$.

Cách khác:

Cách 1:

Giải hệ phương trình:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 5 + t\\ y = 3 + 2t\\ 12x - 6y + 10 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 5 + t\\ y = 3 + 2t\\ 12\left( {5 + t} \right) - 6\left( {3 + 2t} \right) + 10 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 5 + t\\ y = 3 + 2t\\ 12t + 60 - 18 - 12t + 10 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 5 + t\\ y = 3 + 2t\\ 52 = 0\left( {VN} \right) \end{array} \right. \end{array}$

Hệ trên vô nghiệm nên hai đường thẳng song song.

Cách 2:

${d_1}$ nhận $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {12; - 6} \right)$ làm VTPT.

${d_2}$ nhận $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;2} \right)$ làm VTCP nên nhận $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2; - 1} \right)$ làm VTPT.

Dễ thấy $\overrightarrow {{n_1}}  = 6\overrightarrow {{n_2}}$ nên ${d_1},{d_2}$ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm $M\left( {5;3} \right) \in {d_2}$ thay vào ${d_1}$ ta được:

$12.5 - 6.3 + 10 = 52 \ne 0$ nên $M \notin {d_1}$.

Vậy ${d_1}//{d_2}$.

LG c

$d_1:8x + 10y - 12 = 0$;

$d_2 :  \left\{\begin{matrix} x= -6+5t& \\ y= 6-4t& \end{matrix}\right.$

Phương pháp giải:

Viết $d_2$ dưới dạng tổng quát và nhận xét các bộ số tỉ lệ.

Lời giải chi tiết:

$d_1:8x + 10y - 12 = 0$

Viết $d_2  :  \left\{\begin{matrix} x= -6+5t& \\ y= 6-4t& \end{matrix}\right.$ dưới dạng tổng quát:

$\begin{array}{l} {d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = - 6 + 5t\\ y = 6 - 4t \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4x = - 24 + 20t\\ 5y = 30 - 20t \end{array} \right.\\ \Rightarrow 4x + 5y = 6\\ \Leftrightarrow 4x + 5y - 6 = 0 \end{array}$

Do đó $d_2: 4x + 5y - 6 = 0$  

Ta có: $\dfrac{8}{4} = \dfrac{{10}}{5} = \dfrac{{ - 12}}{{ - 6}}\left( { = 2} \right)$ $\Rightarrow {d_1} \equiv {d_2}.$

Vậy $d_1$ trùng $d_2$.

Cách khác:

Cách 1: Xét hệ phương trình:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} 8x + 10y - 12 = 0\\ x = - 6 + 5t\\ y = 6 - 4t \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 6 + 5t\\ y = 6 - 4t\\ 8\left( { - 6 + 5t} \right) + 10\left( {6 - 4t} \right) - 12 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 6 + 5t\\ y = 6 - 4t\\ - 48 + 40t + 60 - 40t - 12 = 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 6 + 5t\\ y = 6 - 4t\\ 0 = 0\left( {dung} \right) \end{array} \right. \end{array}$

Do đó hệ có vô số nghiệm hay $d_1$ trùng $d_2$.

Cách 2: 

${d_1}$ nhận $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {8;10} \right)$ làm VTPT.

${d_2}$ nhận $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {5; - 4} \right)$ làm VTCP nên nhận $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {4;5} \right)$ làm VTPT.

Dễ thất $\overrightarrow {{n_1}}  = 2\overrightarrow {{n_2}}$ nên ${d_1},{d_2}$ song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm $M\left( { - 6;6} \right) \in {d_2}$, thay vào ${d_1}$ được:

$8.\left( { - 6} \right) + 10.6 - 12 = 0$ nên $M \in {d_1}$.

Vậy ${d_1} \equiv {d_2}$.

Loigiaihay.com