Bài 3 trang 79 SGK Đại số 10

Giải bài 3 trang 79 SGK Đại số 10. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.

Quảng cáo

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho \(a, b, c\) là độ dài ba cạnh của một tam giác.

a) Chứng minh \((b-c)^2< a^2\);

b) Từ đó suy ra \(a^2+ b^2+ c^2< 2(ab + bc +ca)\).

LG a

Chứng minh \((b-c)^2< a^2\);

Phương pháp giải:

Ta biết trong một tam giác thì một cạnh luôn nhỏ hơn tổng hai cạnh kia: \(a + b > c\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({\left( {b - c} \right)^2} - {a^2} = \left( {b - c - a} \right)\left( {b - c + a} \right)\)

Do \(b < a + c \Rightarrow b - a - c < 0\) và \(b + a > c \Rightarrow b + a - c > 0\)

Suy ra \(\left( {b - c - a} \right)\left( {b + a - c} \right) < 0\) hay \({\left( {b - c} \right)^2} - {a^2} < 0 \Leftrightarrow {\left( {b - c} \right)^2} < {a^2}\) (điều phải chứng minh).

LG b

Từ đó suy ra \(a^2+ b^2+ c^2< 2(ab + bc +ca)\).

Lời giải chi tiết:

Từ kết quả câu a), ta có:

\(\begin{array}{l}
{a^2} > {\left( {b - c} \right)^2}\\
{b^2} > {\left( {a - c} \right)^2}\\
{c^2} > {\left( {a - b} \right)^2}
\end{array}\)

\({a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2} > {\rm{ }}{\left( {b - c} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {a{\rm{ }}-{\rm{ }}c} \right)^2} \)\(+ {\rm{ }}{\left( {a{\rm{ }} - {\rm{ }}b} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2} > {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2}-{\rm{ }}2bc{\rm{ }} + {\rm{ }}{a^2} \)\(+ {\rm{ }}{c^2}-{\rm{ }}2ac{\rm{ }} + {\rm{ }}{a^2} + {\rm{ }}{b^2}-{\rm{ }}2ab\)

\( \Leftrightarrow 2ab + 2bc + 2ca > {a^2} + {b^2} + {c^2}\)

 \( \Leftrightarrow 2\left( {ab{\rm{ }} + {\rm{ }}bc{\rm{ }} + {\rm{ }}ac} \right){\rm{ }} > {a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2}\)

hay: \(a^2+ b^2+ c^2< 2(ab + bc +ca)\) (điều phải chứng minh).

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Xem thêm tại đây: Bài 1. Bất đẳng thức
Gửi bài