Bài 3 trang 56 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = SB = SC = a,\widehat {BSA} = \widehat {CSA} = {60^ \circ },$ $\widehat {BSC} = {90^ \circ }$. Cho $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $BC$. Chứng minh rằng $IJ \bot SA$ và $IJ \bot BC$.

Lời giải chi tiết

 

Xét tam giác SAB có:

SA = SB = a

$\widehat {BSA} = {60^0}$

⇒ Tam giác SAB đều.

Mà I là trung điểm của SA ⇒ $IB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Xét tam giác SAC có:

SA = SC = a

$\widehat {ASC} = {60^0}$

⇒ Tam giác SAC đều.

Mà I là trung điểm của SA ⇒ $IC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Ta có BSC là tam giác vuông cân tại S.

⇒ BC=$\sqrt {S{B^2} + S{C^2}}  = a\sqrt 2$

Xét tam giác ABC:

AB = AC = a

$\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2}\\B{C^2} = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 2{a^2}\\ \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\end{array}$

⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A.

Mà J là trung điểm đoạn BC ⇒ AJ $\bot$ BC

⇒ $AJ = \sqrt {A{B^2} - B{J^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Xét tam giác SBC vuông cân tại S:

Mà J là trung điểm đoạn BC ⇒ SJ $\bot$ BC

⇒ $SJ = \sqrt {S{B^2} - B{J^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Xét tam giác JSA:

AJ = SJ = $\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

⇒ Tam giác JSA cân tại J.

Mà I là trung điểm của SA ⇒ IJ là đường trung tuyến của tam giác JSA.

hay IJ ⊥SA.

Xét tam giác IBC:

IB = IC =$\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

⇒ Tam giác IBC cân tại I.

Mà J là trung điểm của BC ⇒ IJ là đường trung tuyến của tam giác IBC.

hay IJ $\bot$ BC.