Bài 3 trang 131 SGK Toán 8 tập 2

Đề bài

Tam giác $ABC$ có các đường cao $BD, CE$ cắt nhau tại $H$. Đường vuông góc với $AB$ tại $B$ và đường vuông góc với $AC$ tại $C$ cắt nhau ở $K$. Tam giác $ABC$ phải có điều kiện gì thì tứ giác $BHCK$ là:

a) Hình thoi?

b) Hình chữ nhật?

Lời giải chi tiết

Ta có: $CE ⊥ AB$ (gt) 

          $KB ⊥ AB$ (gt)

Suy ra $BK // CH$        (1)

Tương tự $BH // KC$ (2) (cùng vuông với AC)  

Từ (1) và (2) ta được :

Tứ giác $BHCK$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Gọi $M$ là giao điểm của hai đường chéo $BC$ và $HK$.

a) $BHCK$ là hình thoi khi và chỉ khi $HM ⊥ BC$ (dấu hiệu nhận biết hình thoi)

Vì $HA ⊥ BC$ nên $HM ⊥ BC  ⇔A, H, M$ thẳng hàng.

Tam giác $ABC$ có đường cao $AH$ đồng thời là đường trung tuyến nên tam giác $ABC$ cân tại $A.$

b) $BHCK$ là hình chữ nhật  $⇔ BK ⊥ BH.$

Ta lại có $BK ⊥ AB$ (gt) nên $H, B, A$  thẳng hàng.

Mà $BH \bot AC$ nên $AB \bot AC.$ Vậy tam giác $ABC$ là tam giác vuông ở $A.$

Loigiaihay.com