Bài 29 trang 43 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài tập Bài 29 trang 43 SBT Hình học 10 Nâng cao

Quảng cáo

Đề bài

Cho hai đường thẳng \(AB, CD\) cắt nhau ở điểm \(M\). Chứng minh rằng bốn điểm \(A, B, C, D\) cùng thuộc một đường tròn khi và chỉ khi

\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} .\)

Lời giải chi tiết

Nếu \(A, B, C, D\) cùng thuộc một đường tròn \((C)\) thì \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} ,\,\,\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} \) cũng bằng phương tích của điểm \(M\) đối với đường tròn \((C)\) nên \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} \)

Ngược lại, vẽ đường tròn qua ba điểm \(A, B, C\) và giả sử đường tròn đó cắt đường thẳng \(CD\) ở điểm \(D’\) khác \(C\). Khi đó ta có \(A, B, C, D’\) cùng thuộc một đường tròn nên \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD'} \)

Nếu có \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD} \) thì \(\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD}  = \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {MD'} \), suy ra \(\overrightarrow {MC} .\overrightarrow {DD'}  = 0\). Do \(\overrightarrow {MC}  \ne \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {DD'} \) cùng phương với \(\overrightarrow {MC} \) nên \(\overrightarrow {DD'}  = \overrightarrow 0 \) hay \(D, D’\) trùng nhau. Vậy \(A, B, C, D\) cùng thuộc một đường tròn.

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close