Bài 29 trang 108 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = 3{x^2} - 2\sqrt x \);

b) \(y = \sqrt {1 + 2x - {x^2}} \);

c) \(y = \tan \frac{x}{2} - \cot \frac{x}{2}\);

d) \(y = {e^{ex}} + \ln {x^2}\).

Lời giải chi tiết

a) \(y' = \left( {3{x^2} - 2\sqrt x } \right)'\)

\( = 6x - 2.\frac{1}{{2\sqrt x }} = 6x - \frac{1}{{\sqrt x }}\).

b) \(y' = \left( {\sqrt {1 + 2x - {x^2}} } \right)'\)

\( = \frac{{\left( {1 + 2x - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {1 + 2x - {x^2}} }}\)

\( = \frac{{2 - 2x}}{{2\sqrt {1 + 2x - {x^2}} }}\)

\( = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {1 + 2x - {x^2}} }}\).

c) \(y' = \left( {\tan \frac{x}{2} - \cot \frac{x}{2}} \right)'\)

\( = \frac{1}{2}.\frac{1}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} + \frac{1}{2}.\frac{1}{{{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}\)

\( = \frac{1}{{1 + \cos x}} + \frac{1}{{1 - \cos x}}\)

\( = \frac{2}{{\left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 - \cos x} \right)}}\)

\( = \frac{2}{{1 - {{\cos }^2}x}} = \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}\).

d) \(y' = \left( {{e^{ex}} + \ln {x^2}} \right)'\)

\( = \left( {ex} \right)'{e^{ex}} + \frac{{\left( {{x^2}} \right)'}}{{{x^2}}}\)

\( = {e^{ex + 1}} + \frac{{2x}}{{{x^2}}} = {e^{ex + 1}} + \frac{2}{x}\).