Bài 2.47 trang 124 SBT giải tích 12

LG a

$\displaystyle {2^{x + 4}} + {2^{x + 2}} = {5^{x + 1}} + {3.5^x}$

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình về phương trình mũ cơ bản $\displaystyle {a^{f\left( x \right)}} = m \Leftrightarrow f\left( x \right) = {\log _a}m$.

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle {16.2^x} + {4.2^x} = {5.5^x} + {3.5^x}$$\displaystyle  \Leftrightarrow {20.2^x} = {8.5^x}$ $\Leftrightarrow \frac{{{2^x}}}{{{5^x}}} = \frac{8}{{20}} = \frac{2}{5}$ $\displaystyle  \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x} = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^1} \Leftrightarrow x = 1$

LG b

$\displaystyle {5^{2x}} - {7^x} - {5^{2x}}.17 + {7^x}.17 = 0$

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình về phương trình mũ cơ bản $\displaystyle {a^{f\left( x \right)}} = m \Leftrightarrow f\left( x \right) = {\log _a}m$.

Lời giải chi tiết:

$\displaystyle {5^{2x}} - {7^x} - {5^{2x}}.17 + {7^x}.17 = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{7^x}.17 - {7^x}} \right) - \left( {{5^{2x}}.17 - {5^{2x}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {7^x}\left( {17 - 1} \right) - {5^{2x}}\left( {17 - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {7^x}.16 - {5^{2x}}.16 = 0\\ \Leftrightarrow {7^x} - {5^{2x}} = 0 \end{array}$

$\displaystyle \Leftrightarrow {7^x} = {5^{2x}}$ $\Leftrightarrow \frac{{{7^x}}}{{{5^{2x}}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{7^x}}}{{{{25}^x}}} = 1$ $\displaystyle  \Leftrightarrow {\left( {\frac{7}{{25}}} \right)^x} = {\left( {\frac{7}{{25}}} \right)^0} \Leftrightarrow x = 0$

LG c

$\displaystyle {4.9^x} + {12^x} - {3.16^x} = 0$

Phương pháp giải:

Chia cả hai vế cho $\displaystyle {12^x}$ biến đổi phương trình về bậc hai với ẩn là $\displaystyle {\left( {\frac{3}{4}} \right)^x}$.

Lời giải chi tiết:

Chia hai vế cho $\displaystyle {12^x}({12^x} > 0)$, ta được:

$\begin{array}{l} 4.\frac{{{9^x}}}{{{{12}^x}}} + 1 - 3.\frac{{{{16}^x}}}{{{{12}^x}}} = 0\\ \Leftrightarrow 4.{\left( {\frac{9}{{12}}} \right)^x} + 1 - 3.{\left( {\frac{{16}}{{12}}} \right)^x} = 0\\ \Leftrightarrow 4.{\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} + 1 - 3.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} = 0 \end{array}$

Đặt  $\displaystyle t = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} > 0$, ta có phương trình: $\displaystyle 4t + 1 - \frac{3}{t} = 0$$\displaystyle  \Leftrightarrow 4{t^2} + t - 3 = 0$ $\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\left( {KTM} \right)\\t = \frac{3}{4}\left( {TM} \right)\end{array} \right.$

Do đó ${\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} = \frac{3}{4}$$\displaystyle  \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^1} \Leftrightarrow x = 1$ .

Vậy $\displaystyle x = 1$.

LG d

$\displaystyle  - {8^x} + {2.4^x} + {2^x} - 2 = 0$

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ $\displaystyle t = {2^x}$ đưa phương trình về ẩn $\displaystyle t$.

Giải phương trình và kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} - {8^x} + {2.4^x} + {2^x} - 2 = 0\\ \Leftrightarrow - {\left( {{2^3}} \right)^x} + 2.{\left( {{2^2}} \right)^x} + {2^x} - 2 = 0\\ \Leftrightarrow - {2^{3x}} + {2.2^{2x}} + {2^x} - 2 = 0\\ \Leftrightarrow - {\left( {{2^x}} \right)^3} + 2.{\left( {{2^x}} \right)^2} + {2^x} - 2 = 0 \end{array}$

Đặt $\displaystyle t = {2^x}(t > 0)$ , ta có phương trình:

$\displaystyle  - {t^3} + 2{t^2} + t - 2 = 0$$\displaystyle  \Leftrightarrow (t - 1)(t + 1)(2 - t) = 0$ $\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\left( {TM} \right)\\t =  - 1\left( {KTM} \right)\\t = 2\left( {TM} \right)\end{array} \right.$

Do đó $\displaystyle \left[ \begin{array}{l}{2^x} = 1\\{2^x} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm $\displaystyle x = 1$, $\displaystyle x = 0$.

Loigiaihay.com