Bài 23 trang 76 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho đường tròn $(O)$ và một điểm $M$ cố định không nằm trên đường tròn. Qua $M$ kẻ hai đường thẳng. Đường thẳng thứ nhất cắt $(O)$ tại $A$ và $B$.Đường thẳng thứ nhất cắt $(O)$ tại $C$ và $D$.

Chứng minh $MA. MB = MC. MD$

Lời giải chi tiết

Xét hai trường hợp:

a) $M$ ở bên trong đường tròn (hình a)

Xét hai tam giác $MAD$ và $MCB$ có:

              $\widehat{AMD}$ = $\widehat{CMB}$ ( đối đỉnh)

              $\widehat{ADM}$ = $\widehat{CBM}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung  $AC$).

Do đó $∆MAD$ đồng dạng $∆MCB$ (g-g), suy ra:

$\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MD}{MB}$ ( 2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

Do đó $MA. MB = MC. MD$

b) M ở bên ngoài đường tròn (hình b)

Tương tự, xét hai tam giác $MAD$ và $MCB$ có:

     $\widehat{M}$ chung  

     $\widehat{MDA}$ = $\widehat{MBC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$).

Nên $∆MAD$ đồng dạng $∆MCB$ (g-g)

Suy ra:     $\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MD}{MB}$( 2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

Do đó: $MA. MB = MC. MD$