Bài 26 trang 76 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho $AB, BC, CA$ là ba dây của đường tròn $(O)$. Từ điểm chính giữa $M$ của $\overparen{AB}$ vẽ dây $MN$ song song với dây $BC$. Gọi giao điểm của $MN$ và $AC$ là $S$. Chứng minh $SM = SC$ và $SN = SA$

Lời giải chi tiết

Ta có:

Vì M là điểm nằm chính giữa của $\overparen{AB}$ nên $\overparen{BM}=\overparen{AM}$ 

+) Chứng minh SM = SC

Vì MN // BC nên $\widehat {{M_1}} = \widehat {{C_2}}$ (2 góc so le trong)

Trong đường tròn (O): $\widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{C}_{2}}}$ (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau $\overparen{BM}=\overparen{AM}$ ) 

Nên suy ra $\widehat{{{M}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}$

Suy ra tam giác SMC là tam giác cân tại S. Vậy $SM = SC.$

+) Chứng minh SA = SN

Trong đường tròn (O):

$\widehat {{M_1}} = \widehat {{A_1}}$( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung NC)(1)

$\widehat {{C_1}} = \widehat {{N_1}}$(2 góc nội tiếp cùng chắn cung AM)(2)

Mà $\widehat{{{M}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}$ (chứng minh trên)(3)

Từ (1),(2) và (3) $\Rightarrow$ $\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{N}_{1}}}$

Vậy tam giác SAN cân tại S. Nên $SA = SN$ (đpcm)