Bài 2.22 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) nào có công thức dưới đây là dãy số tăng?

A. \({u_n} = \frac{5}{n} - 1\)

B. \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{3n + 2}}\)

C. \({u_n} = n + {\sin ^2}n\)     

D. \({u_n} = \frac{1}{{\sqrt n }}\)

Lời giải chi tiết

Đáp án A.

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{5}{{n + 1}} - 1 - \frac{5}{n} + 1 = 5\left( {\frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n}} \right) < 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\end{array}\)

Đáp án B.

\(\begin{array}{l}{u_n} = \frac{{n + 1}}{{3n + 2}} = \frac{1}{3} + \frac{{\frac{1}{3}}}{{3n + 2}}\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{3} + \frac{{\frac{1}{3}}}{{3n + 5}} - \frac{1}{3} - \frac{{\frac{1}{3}}}{{3n + 2}} = \frac{1}{3}\left( {\frac{1}{{3n + 5}} - \frac{1}{{3n + 2}}} \right) < 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\end{array}\)

Đáp án C.

\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = n + 1 + {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) - n - {\sin ^2}n = {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) + 1 - {\sin ^2}n\\ = {\sin ^2}\left( {n + 1} \right) + {\cos ^2}n > 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\end{array}\)

Đáp án D.

\(\begin{array}{l}\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}:\frac{1}{{\sqrt n }} = \frac{{\sqrt n }}{{\sqrt {n + 1} }} < 1\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\end{array}\)

Vậy chọn đáp án C.