Bài 2 trang 19 SGK Hình học 11

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho điểm $A(2;0)$ và đường thẳng $d$ có phương trình $x+y-2=0$. Tìm ảnh của $A$ và $d$ qua phép quay tâm $O$ góc $90^{\circ}$.

Lời giải chi tiết

* Ta có $A(2; 0)$ thuộc tia $Ox.$

Gọi ${Q_{\left( {O,90} \right)}}\;\left( A \right) = B$ thì $B$ thuộc tia $Oy$ và $OA = OB$ nên $B(0 ; 2).$

* Lấy $A(2;0), B(0;2)$ thuộc $d$

Ta có: ${Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = B\,\Rightarrow B\left( {0;2} \right)$

${Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( B \right) = A'\, \Rightarrow A'\left( {-2;0} \right)$

Do đó ${Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}$ biến đường thẳng $AB$ thành đường thẳng $BA'$ hay biến đường thẳng $d$ thành đường thẳng $BA'$.

Mà $B\left( {0;2} \right),A'\left( { - 2;0} \right)$ nên đường thẳng $A'B$ có phương trình $\dfrac{x}{{ - 2}} + \dfrac{y}{2} = 1$

$\Leftrightarrow  - x + y = 2$ $\Leftrightarrow x - y + 2 = 0$

Chú ý: Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn $A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right)$ $\Rightarrow AB:\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$ với $ab \ne 0$.

Cách khác:

Gọi $d'$ là ảnh của $d$ qua ${Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}$

Dễ thấy $A(2;0)$ thuộc $d$ vì $2+0-2=0.$

${Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( A \right) = B$$\Rightarrow B\left( {0;2} \right)$ thuộc $d'.$

Do $d' = {Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( d \right)$ $\Rightarrow \left( {d,d'} \right) = {90^0} \Rightarrow d' \bot d$.

Mà $\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {1;1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{d'}}}  = \left( {1; - 1} \right)$ là $VTPT$ của $d'.$

$d'$ đi qua $B(0;2)$ và nhận $(1;-1)$ làm $VTPT$ nên có phương trình:

$1(x-0)-1(y-2)=0$ hay $x-y+2=0.$

Loigiaihay.com