Bài 2 trang 168 SGK Đại số và Giải tích 11

LG a

$\displaystyle y'<0$ với $y = \displaystyle {{{x^2} + x + 2} \over {x - 1}}$

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc đạo hàm của 1 thương và bảng đạo hàm các hàm số cơ bản, tính đạo hàm của các hàm số và giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có $y'=\dfrac{(x^{2}+x+2)'.(x-1)-(x^{2}+x+2).(x-1)'}{(x-1)^{2}}$ 

$= \dfrac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + x + 2} \right).1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

$= \dfrac{{2{x^2} + x - 2x - 1 - {x^2} - x - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

 $=\dfrac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}$

Do đó, $y'<0\Leftrightarrow  \dfrac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}<0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \ne 1\\ {x^2} - 2x - 3 < 0 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ne 1 \hfill \cr  - 1 < x < 3 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow$$x∈ (-1;1) ∪ (1;3)$.

Quảng cáo

LG b

$y'≥0$ với $y = \dfrac{x^{2}+3}{x+1}$

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc đạo hàm của 1 thương và bảng đạo hàm các hàm số cơ bản, tính đạo hàm của các hàm số và giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có $y'=\dfrac{(x^{2}+3)'.(x+1)-(x^{2}+3).(x+1)'}{(x+1)^{2}}$

$= \dfrac{{2x\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 3} \right).1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$ $= \dfrac{{2{x^2} + 2x - {x^2} - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$

= $\dfrac{x^{2}+2x-3}{(x+1)^{2}}$.

Do đó, $y'≥0 \Leftrightarrow   \dfrac{x^{2}+2x-3}{(x+1)^{2}}≥0$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 1 \ne 0\\ {x^2} + 2x - 3 \ge 0 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ne - 1 \hfill \cr  \left[ \matrix{ x \ge 1 \hfill \cr  x \le - 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x \ge 1 \hfill \cr  x \le - 3 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow x∈ (-∞;-3] ∪ [1;+∞)$.

LG c

$y'>0$ với $y = \dfrac{2x-1}{x^{2}+x+4}$

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc đạo hàm của 1 thương và bảng đạo hàm các hàm số cơ bản, tính đạo hàm của các hàm số và giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có $y'=\dfrac{(2x-1)'.(x^{2}+x+4)-(2x-1).(x^{2}+x+4)'}{(x^{2}+x+4)^2}$

$= \dfrac{{2\left( {{x^2} + x + 4} \right) - \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + x + 4} \right)}^2}}}$ $= \dfrac{{2{x^2} + 2x + 8 - 4{x^2} + 2x - 2x + 1}}{{{{\left( {{x^2} + x + 4} \right)}^2}}}$

$=\dfrac{-2x^{2}+2x+9}{(x^{2}+x+4)^2}$.

Do đó, $y'>0  \Leftrightarrow  \dfrac{-2x^{2}+2x+9}{(x^{2}+x+4)^2} >0\Leftrightarrow  -2x^2+2x +9>0$$\Leftrightarrow    \dfrac{1-\sqrt{19}}{2} < x <  \dfrac{1+\sqrt{19}}{2}\Leftrightarrow   x∈  \left ( \dfrac{1-\sqrt{19}}{2};\dfrac{1+\sqrt{19}}{2} \right )$

Vì $x^2+x +4 =$ $\left ( x+\dfrac{1}{2} \right )^{2}$+ $\dfrac{15}{4} >0$, với $∀ x ∈ \mathbb R$.

 Loigiaihay.com