Bài 17 trang 40 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài tập Bài 17 trang 40 SBT Hình học 10 Nâng cao

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hai điểm cố định \(A ,B\) có khoảng cách bằng \(a.\)

LG a

Tìm tập hợp các điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = k\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O\) là trung điểm cả \(AB\) thì \(\overrightarrow {OA}  =  - \overrightarrow {OB} \).

Với mọi điểm \(M\) ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \\ = (\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OA} ).(\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OB} )\\ = (\overrightarrow {MO}  - \overrightarrow {OB} ).(\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OB} )\\= M{O^2} - O{B^2} \\= M{O^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}.\end{array}\)

Từ đó

\(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = k \)

\(\Leftrightarrow M{O^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = k\)

\(\Leftrightarrow   M{O^2} =  \dfrac{{{a^2}}}{4} + k.  (*)\)

Ta có \(O\) cố định, \(\dfrac{{{a^2}}}{4} + k\) là số không đổi nên:

- Nếu \(k <  - \dfrac{{{a^2}}}{4}\)thì tập các điểm \(M\) là tập các điểm rỗng.

- Nếu \(k =  - \dfrac{{{a^2}}}{4}\)thì tập các điểm \(M\) chỉ gồm một điểm \(O\).

- Nếu \(k >  - \dfrac{{{a^2}}}{4}\) thì tập các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R = \dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2} + 4k} .\)

LG b

Tìm tập hợp các điểm \(N\) sao cho \(\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {AB}  = 2{a^2}\).

Lời giải chi tiết:

 Lấy điểm \(C\) sao cho \(\overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AB} \). Khi đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 2{\overrightarrow {AB} ^2} = 2{a^2}.\)

Từ đó có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AN} .\overrightarrow {AB}  = 2{a^2}\\\Leftrightarrow    \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}\\\Leftrightarrow    \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AC} ) = 0\\\Leftrightarrow  \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CN}  = 0    \Leftrightarrow    CN \bot AB.\end{array}\)

Vậy tập hợp các điểm \(N\) là đường thẳng vuông góc với đường thẳng \(AB\) tại điểm \(C.\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo
close