Bài 17 trang 16 SGK Toán 9 tập 2

LG a

$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2}- y \sqrt{3}=1 & & \\ x + y\sqrt{3} = \sqrt{2}& & \end{matrix}\right.$

Phương pháp giải:

Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} ax +by =c \ (1) & & \\ a'x+b'y=c' \ (2)  & & \end{matrix}\right.$

+) Từ phương trình (1), rút $x$ theo $y$   (nếu $a \ne 0$), ta được: $x=\dfrac{c-by}{a}$ (Hoặc có thể rút $y$ theo $x$ nếu $b \ne 0$).

+) Thế biểu thức vừa tìm được vào phương trình (2) ta được phương trình bậc nhất một ẩn $y$. Giải phương trình này tìm $y$.

+) Thế $y$ vào phương trình (1) tìm được $x$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\left\{ \matrix{ x\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1 \hfill \cr  x + y\sqrt 3 = \sqrt 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1 \hfill \cr  x = \sqrt 2 - y\sqrt 3 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left( {\sqrt 2-y\sqrt 3  } \right)\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1 \ (1) \hfill \cr  x = \sqrt 2  - y\sqrt 3 \ (2) \hfill \cr}  \right.$

Giải phương trình $(1)$, ta được:

$( \sqrt 2 - y\sqrt 3)\sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1$

$\Leftrightarrow (\sqrt 2)^2  - y\sqrt 3 . \sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1$

$\Leftrightarrow 2 - y\sqrt 3 . \sqrt 2 - y\sqrt 3 = 1$

$\Leftrightarrow -y\sqrt 3. \sqrt 2  - y\sqrt 3 = 1 - 2$  

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow - y\sqrt 6 - y\sqrt 3 = - 1\\ \Leftrightarrow y\left( {\sqrt 6 + \sqrt 3 } \right) = 1\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{{\sqrt 6 + \sqrt 3 }}\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 3 }}{3}\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)}}{3} \end{array}$ 

Thay $y$ tìm được vào phương trình $(2)$, ta được:

$x = \sqrt 2  - \dfrac{\sqrt 3 (\sqrt 2 -1)}{3}.\sqrt 3$

$\Leftrightarrow  x=\sqrt 2  - \dfrac{\sqrt 3 .\sqrt 3(\sqrt 2 -1)}{3}$

$\Leftrightarrow x=\sqrt 2  - \dfrac{ 3(\sqrt 2 -1)}{3} =\sqrt 2  - (\sqrt 2 -1)$

$\Leftrightarrow x=\sqrt 2 -\sqrt 2 +1=1.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: ${\left( 1;\dfrac{\sqrt 3 (\sqrt 2 -1)}{3} \right)}$

LG b

$\left\{\begin{matrix} x - 2\sqrt{2} y = \sqrt{5}& & \\ x\sqrt{2} + y = 1 - \sqrt{10}& & \end{matrix}\right.$

Phương pháp giải:

Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} ax +by =c \ (1) & & \\ a'x+b'y=c' \ (2)  & & \end{matrix}\right.$

+) Từ phương trình (1), rút $x$ theo $y$   (nếu $a \ne 0$), ta được: $x=\dfrac{c-by}{a}$ (Hoặc có thể rút $y$ theo $x$ nếu $b \ne 0$).

+) Thế biểu thức vừa tìm được vào phương trình (2) ta được phương trình bậc nhất một ẩn $y$. Giải phương trình này tìm $y$.

+) Thế $y$ vào phương trình (1) tìm được $x$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\left\{ \matrix{ x - 2\sqrt 2 y = \sqrt 5 \hfill \cr  x\sqrt 2 + y = 1 - \sqrt {10} \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 2\sqrt 2 y + \sqrt 5 \ (1)  \hfill \cr  \left( {2\sqrt 2 y + \sqrt 5 } \right).\sqrt 2 + y = 1 - \sqrt {10}\ (2)  \hfill \cr}  \right.$

Giải phương trình $(2)$, ta được:

$\left( {2\sqrt 2 y + \sqrt 5 } \right).\sqrt 2 + y = 1 - \sqrt {10}$

$\Leftrightarrow 2(\sqrt 2 .\sqrt 2)y + \sqrt 5 .\sqrt 2 + y = 1 - \sqrt {10}$

$\Leftrightarrow 4y + \sqrt{10}+y=1- \sqrt{10}$

$\Leftrightarrow 4y +y=1- \sqrt{10}- \sqrt{10}$ 

$\Leftrightarrow 5y=1-2 \sqrt{10}$

$\Leftrightarrow y=\dfrac{1-2 \sqrt{10}}{5}$ 

Thay $y=\dfrac{1-2 \sqrt{10}}{5}$ vào $(1)$, ta được:

$x = 2\sqrt 2 .\dfrac{1-2 \sqrt{10}}{5} + \sqrt 5= \dfrac{2\sqrt 2 -4 \sqrt{20}}{5} + \sqrt 5$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{2\sqrt 2 -4 .2\sqrt{5}}{5} + \sqrt 5=\dfrac{2\sqrt 2 -8\sqrt{5}+ 5\sqrt 5}{5}$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{2 \sqrt 2 -3 \sqrt 5}{5}$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là: $(x; y)$ = ${\left(\dfrac{2\sqrt{2} - 3\sqrt{5}}{5};\dfrac{1 - 2\sqrt{10}}{5}\right)}$

LG c

$\left\{\begin{matrix} (\sqrt{2}- 1)x - y = \sqrt{2}& & \\ x + (\sqrt{2}+ 1)y = 1& & \end{matrix}\right.$

Phương pháp giải:

Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} ax +by =c \ (1) & & \\ a'x+b'y=c' \ (2)  & & \end{matrix}\right.$

+) Từ phương trình (1), rút $x$ theo $y$   (nếu $a \ne 0$), ta được: $x=\dfrac{c-by}{a}$ (Hoặc có thể rút $y$ theo $x$ nếu $b \ne 0$).

+) Thế biểu thức vừa tìm được vào phương trình (2) ta được phương trình bậc nhất một ẩn $y$. Giải phương trình này tìm $y$.

+) Thế $y$ vào phương trình (1) tìm được $x$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\left\{ \matrix{ \left( {\sqrt 2 - 1} \right)x - y = \sqrt 2 \hfill \cr  x + \left( {\sqrt 2 + 1} \right)y = 1 \hfill \cr} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l}y = \left( {\sqrt 2  - 1} \right)x - \sqrt 2 \,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x + \left( {\sqrt 2  + 1} \right)\left[ {\left( {\sqrt 2  - 1} \right)x - \sqrt 2 } \right] = 1\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Giải phương trình $(2)$, ta được:

$x + \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left[ { \left( {\sqrt 2 - 1} \right)x} -\sqrt 2 \right] = 1$

$\Leftrightarrow  x +  (\sqrt 2 + 1) (\sqrt 2 - 1)x -( \sqrt 2 + 1). \sqrt 2   = 1$

$\Leftrightarrow  x +  {\left((\sqrt 2)^2 - 1^2 \right)}x-( 2 + \sqrt 2)  = 1$

$\Leftrightarrow x + x  = 1+( 2 + \sqrt 2)$

$\Leftrightarrow 2x =3 +\sqrt 2$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{3+ \sqrt 2}{2}$

Thay $x=\dfrac{3+ \sqrt 2}{2}$ vào $(1)$, ta được:

$y =  \left( {\sqrt 2 - 1} \right).\dfrac{3+ \sqrt 2}{2}  - \sqrt 2$

$\Leftrightarrow y= \dfrac{(\sqrt 2 - 1 )(3+ \sqrt 2)}{2}  - \sqrt 2$

$\Leftrightarrow y= \dfrac{3\sqrt 2 -3 +2 -\sqrt 2}{2}  - \sqrt 2$

$\Leftrightarrow y= \dfrac{2\sqrt 2 -1}{2}  - \sqrt 2$

$\Leftrightarrow y= \dfrac{2\sqrt 2 -1-2\sqrt 2}{2}$

$\Leftrightarrow y= \dfrac{-1}{2}$

Vậy hệ có nghiệm $(x; y) = {\left(\dfrac{3 + \sqrt{2}}{2};\dfrac{-1}{2} \right)}$

Loigiaihay.com