Bài 18 trang 16 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

a) Xác định các hệ số $a$ và $b$, biết rằng hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} 2x + by=-4 & & \\ bx - ay=-5& & \end{matrix}\right.$

có nghiệm là $(1; -2)$

b) Cũng hỏi như vậy, nếu hệ phương trình có nghiệm là $(\sqrt{2} - 1; \sqrt{2})$.

Lời giải chi tiết

a) Hệ phương trình có nghiệm là $(1; -2)$ khi và chỉ khi $(1; -2)$ thỏa mãn hệ phương trình. Thay $x=1,\ y=-2$ vào hệ, ta có:

$\left\{\begin{matrix} 2 - 2b=-4 & & \\ b+2a=-5 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2b=6 & & \\ b+2a=-5 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ b+2a=-5 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ 3+2a=-5 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ 2a = -5 - 3& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ 2a = -8& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=3 & & \\ a = -4 & & \end{matrix}\right.$

Vậy $a=-4,\ b=3$ thì hệ có nghiệm là $(1; -2)$.

b) Thay $x=\sqrt 2 - 1;\ y= \sqrt 2$ vào hệ phương trình đã cho, ta có:

$\left\{\begin{matrix} 2(\sqrt{2}-1)+b\sqrt{2}= -4 & & \\ (\sqrt{2}-1)b - a\sqrt{2}= -5& & \end{matrix}\right.$ 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2\sqrt{2}-2+b\sqrt{2}= -4 & & \\ (\sqrt{2}-1)b - a\sqrt{2}= -5& & \end{matrix}\right.$ 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2\sqrt{2}-2+b\sqrt{2}= -4 & & \\ (\sqrt{2}-1)b - a\sqrt{2}= -5& & \end{matrix}\right.$ 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b\sqrt{2}= -2 - 2\sqrt{2} & & \\ (\sqrt{2}-1)b - a\sqrt{2}= -5& & \end{matrix}\right.$

 $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b= -(2 + \sqrt{2}) & & \\ a\sqrt{2}= -(2 + \sqrt{2})(\sqrt{2}-1)+5& & \end{matrix}\right.$

 $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b= -(2 + \sqrt{2}) & & \\ a\sqrt{2}= -\sqrt{2}+5& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = \dfrac{-2+5\sqrt{2}}{2} & & \\ b = -(2+ \sqrt{2})& & \end{matrix}\right.$

Vậy $a = \dfrac{-2+5\sqrt{2}}{2},\ b=-(2+ \sqrt{2})$ thì hệ trên có nghiệm là $(\sqrt 2 -1; \sqrt 2)$.

loigiaihay.com