Bài 13 trang 74 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình thang cân $ABCD \;(AB // CD)$, $E$ là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng $EA = EB, EC = ED.$

Lời giải chi tiết

Do $ABCD$ là hình thang cân (giả thiết) nên $AD = BC, AC = BD$ (tính chất hình thang cân) 

Xét $\Delta A{\rm{D}}C$ và $\Delta B{\rm{C}}D$

+) $AD = BC$ (chứng minh trên)

+) $AC = BD$ (chứng minh trên)

+) $DC$ chung

Suy ra $∆ADC =  ∆BCD$ (c.c.c)

Suy ra $\widehat{C_{2}}=\widehat{D_{1}}$ ($2$ góc tương ứng)

Do đó $\Delta E{\rm{D}}C$ cân tại $E$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow EC = E{\rm{D}}$ (tính chất tam giác cân)

Lại có:
$AC = B{\rm{D}}\left( \text{chứng minh trên} \right)$
$EC = E{\rm{D}}\left( \text{chứng minh trên} \right)$
Trừ vế với vế, ta được $AC - CE= B{\rm{D}} - DE$
Hay $E{\rm{A}} = EB$.

Vậy $EA = EB, EC = ED.$

Loigiaihay.com