Bài 18 trang 75 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Chứng minh định lí "Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân" qua bài toán sau: Cho hình thang $ABCD$ $\left( {AB//C{\rm{D}}} \right)$ có $AC = BD.$

Qua $B$ kẻ đường thẳng song song với $AC$, cắt đường thẳng $DC$ tại $E.$ Chứng mình rằng:

a) $∆BDE$ là tam giác cân.

b) $∆ACD = ∆BDC.$

c) Hình thang $ABCD$ là hình thang cân.

Lời giải chi tiết

a) $E$ thuộc đường thẳng $DC$ nên $CE // AB.$

Hình thang $ABEC\; (AB // CE)$ có hai cạnh bên $AC, BE$ song song (giả thiết) $\Rightarrow AC = BE$  (1)  (nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau )

Lại có: $AC = BD$ (giả thiết)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra $BE = BD$ $\Rightarrow \Delta BED$ cân tại $B$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

b) Ta có $AC{\rm{ }}//{\rm{ }}BE \Rightarrow \widehat {{C_1}} = \widehat E$ (2 góc đồng vị) (3)

$∆BDE$ cân tại $B$ (chứng minh trên) $\Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat E$ (4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow \widehat {{D_1}} = \widehat {{C_1}}$

Xét $∆ACD$ và $∆BDC$ có:

+) $AC = BD$ (giả thiết)

+) $\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}$ (chứng minh trên)

+) $CD$ chung

Suy ra $∆ACD = ∆BDC$ (c.g.c)

c) Ta có: $∆ACD = ∆BDC$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow \widehat {A{\rm{D}}C} = \widehat {BCD}$ ($2$ góc tương ứng)

Hình thang $ABCD$ có hai góc kề một đáy bằng nhau nên là hình thang cân.

Loigiaihay.com