Bài 17 trang 75 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Hình thang $ABCD\; (AB // CD)$ có $\widehat{ACD}=\widehat{BDC}$. Chứng minh rằng $ABCD$ là hình thang cân.

Lời giải chi tiết

Gọi $E$ là giao điểm của $AC$ và $BD.$

Xét $∆ECD$ có: $\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}$ (giả thiết)

$\Rightarrow \Delta EC{\rm{D}}$ cân tại $E$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).

$\Rightarrow EC = E{\rm{D}}$ (tính chất tam giác cân)   (1)

Ta có:

${\rm{AB//DC}}\left( \text{giả thiết} \right)$$\;\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {{C_1}}\\ \widehat {AB{\rm{E}}} = \widehat {{D_1}} \end{array} \right.\left( \text{so le trong} \right)$

Mà: $\widehat {{C_1}} = \widehat {{D_1}}\left( \text{giả thiết} \right) \Rightarrow \widehat {BA{\rm{E}}} = \widehat {AB{\rm{E}}}$ $\Rightarrow \Delta ABE$ cân tại $E$ (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

$\Rightarrow AE = BE$ (tính chất tam giác cân)   (2)

Lại có: 

$\left\{ \begin{array}{l} AC = A{\rm{E}} + EC\\ B{\rm{D}} = BE + DE \end{array} \right.\;\left( 3 \right)$

Từ (1), (2) và (3) suy ra $AC = BD.$

Suy ra hình thang $ABCD$ là hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang).

Loigiaihay.com