Bài 13 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày \(\left( {0 \le t < 24} \right)\) cho bởi công thức \(h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + 1} \right) + 12\). Tìm t để độ sâu của mực nước là

a)     15m

b)     9m

c)     10,5m

Lời giải chi tiết

a) Để độ sâu của mực nước là 15 m thì: \[ h = 3\cos\left(\frac{\pi}{6} + 1\right) + 12 = 15 \] \[ \Leftrightarrow \cos\left(\frac{\pi}{6} + 1\right) = 1 \] \[ \Leftrightarrow \frac{\pi}{6} + 1 = k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] \[ \Leftrightarrow t = -\frac{6}{\pi} + 12k \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Do \(0 \leq t < 24\) nên \(0 \leq -\frac{6}{\pi} + 12k < 24\) \[ \Leftrightarrow \frac{6}{\pi} \leq 12k < 24 + \frac{6}{\pi} \] \[ \Leftrightarrow \frac{1}{2\pi} \leq k < 2 + \frac{1}{2\pi} \] Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \{1; 2\}\).

Với \(k = 1\) thì \(t = -\frac{6}{\pi} + 12.1 \approx 10,09\) (giờ);

Với \(k = 2\) thì \(t = -\frac{6}{\pi} + 12.2 \approx 22,09\) (giờ).

Vậy lúc 10,09 giờ và 22,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 15 m.

b) Để độ sâu của mực nước là 9 m thì:

\[
h = 3\cos\left(\frac{\pi}{6} + 1\right) + 12 = 9
\]

\[
\Leftrightarrow \cos\left(\frac{\pi}{6} + 1\right) = -1
\]

\[
\Leftrightarrow \frac{\pi}{6} + 1 = \pi + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

\[
\Leftrightarrow t = 6 - \frac{6}{\pi} + 12k \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Do \(0 \leq t < 24\) nên \(0 \leq 6 - \frac{6}{\pi} + 12k < 24\)

\[
\Leftrightarrow -6 + \frac{6}{\pi} \leq 12k < 18 + \frac{6}{\pi}
\]

\[
\Leftrightarrow -\frac{1}{2} + \frac{1}{2\pi} \leq k < \frac{3}{2} + \frac{1}{2\pi}
\]

Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \{0; 1\}\).

Với \(k = 0\) thì \(t = 6 - \frac{6}{\pi} + 12.0 \approx 4,09\) (giờ);

Với \(k = 1\) thì \(t = 6 - \frac{6}{\pi} + 12.1 \approx 16,09\) (giờ).

Vậy lúc 4,09 giờ và 16,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 9 m.

c) Để độ sâu của mực nước là $10,5 \mathrm{~m}$ thì:
$$
\begin{aligned}
& h=3 \cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)+12=10,5 \\
& \Leftrightarrow \cos \left(\frac{\pi t}{6}+1\right)=-\frac{1}{2} \\
& \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
\frac{\pi \mathrm{t}}{6}+1=\frac{2 \pi}{3}+\mathrm{k} 2 \pi \\
\frac{\pi \mathrm{t}}{6}+1=-\frac{2 \pi}{3}+\mathrm{k} 2 \pi
\end{array} \quad(\mathrm{k} \in \mathbb{Z})\right. \\
& \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
t=4-\frac{6}{\pi}+12 k \\
t=-4-\frac{6}{\pi}+12 k(2)
\end{array}(\mathrm{k} \in \mathbb{Z})\right. \\
&
\end{aligned}
$$

- Do $0 \leq \mathrm{t}<24$ nên từ (1) ta có: $0 \leq 4-\frac{6}{\pi}+12 k<24$
$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow-4+\frac{6}{\pi} \leq 12 k<20+\frac{6}{\pi} \\
& \Leftrightarrow-\frac{1}{3}+\frac{1}{2 \pi} \leq k<\frac{5}{3}+\frac{1}{2 \pi}
\end{aligned}
$$

Mà $k \in Z$ nên $k \in\{0 ; 1\}$.
Với k $=0$ thì $t=4-\frac{6}{\pi}+12.0 \approx 2,09$ (giờ);
Với k $=1$ thì $t=4-\frac{6}{\pi}+12.1 \approx 14,09$ (giờ).
- Do $0 \leq \mathrm{t}<24$ nên từ (2) ta có: $0 \leq-4-\frac{6}{\pi}+12 k<24$
$$
\begin{aligned}
& \Leftrightarrow 4+\frac{6}{\pi} \leq 12 k<28+\frac{6}{\pi} \\
& \Leftrightarrow \frac{1}{3}+\frac{1}{2 \pi} \leq k<\frac{7}{3}+\frac{1}{2 \pi}
\end{aligned}
$$

Mà $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in\{1 ; 2\}$.
Với k $=1$ thì $t=-4-\frac{6}{\pi}+12.1 \approx 6,09$ (giờ);
Với k $=2$ thì $t=-4-\frac{6}{\pi}+12.2 \approx 18,09$ (giờ).
Vậy lúc 2,09 giờ, 6,09 giờ, 14,09 giờ và 18,09 giờ thì mực nước có độ sâu là $10,5 \mathrm{~m}$.