Bài 12 trang 98 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số. Tính xác suất của các biến cố:

$A$: “Số được chọn chia hết cho 2 hoặc 7”;

$B$: “Số được chọn có tổng các chữ số là số chẵn”.

Lời giải chi tiết

Có 900 số tự nhiên có 3 chữ số $\Rightarrow n\left( \Omega  \right) = 900$

Gọi ${A_1}$ là biến cố: “Số được chọn chia hết cho 2”, ${A_2}$ là biến cố “Số được chọn chia hết cho 7”.

Vậy ${A_1}{A_2}$ là biến cố “Số được chọn chia hết cho 14”, $A = {A_1} \cup {A_2}$ là biến cố “Số được chọn chia hết cho 2 hoặc 7”.

Có 450 số có 3 chữ số chia hết cho 2 $\Rightarrow n\left( {{A_1}} \right) = 450 \Rightarrow P\left( {{A_1}} \right) = \frac{{n\left( {{A_1}} \right)}}{{n\left( \Xi  \right)}} = \frac{{450}}{{900}} = \frac{1}{2}$

Có 128 số có 3 chữ số chia hết cho 7 $\Rightarrow n\left( {{A_2}} \right) = 128 \Rightarrow P\left( {{A_2}} \right) = \frac{{n\left( {{A_2}} \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{128}}{{900}} = \frac{{32}}{{225}}$

Có 64 số có 3 chữ số chia hết cho 14

$\Rightarrow n\left( {{A_1}{A_2}} \right) = 64 \Rightarrow P\left( {{A_1}{A_2}} \right) = \frac{{n\left( {{A_1}{A_2}} \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{64}}{{900}} = \frac{{16}}{{225}}$

$\Rightarrow P\left( A \right) = P\left( {{A_1} \cup {A_2}} \right) = P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {{A_2}} \right) - P\left( {{A_1}{A_2}} \right) = \frac{1}{2} + \frac{{32}}{{225}} - \frac{{16}}{{225}} = \frac{{257}}{{450}}$

Gọi ${B_1}$ là biến cố: “Số được chọn có 3 chữ số chẵn”, ${B_2}$ là biến cố “Số được chọn có 1 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ”.

Vậy $B = {B_1} \cup {B_2}$ là biến cố “Số được chọn có tổng các chữ số là số chẵn”.

Có $4.5.5 = 100$ số có 3 chữ số chẵn $\Rightarrow n\left( {{B_1}} \right) = 100 \Rightarrow P\left( {{B_1}} \right) = \frac{{n\left( {{B_1}} \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{100}}{{900}} = \frac{1}{9}$

Có $4.5.5 = 100$ số có 3 chữ số có chữ số hàng trăm chẵn, 2 chữ số còn lại lẻ.

Có $5.5.5 = 125$ số có 3 chữ số có chữ số hàng chục chẵn, 2 chữ số còn lại lẻ.

Có $5.5.5 = 125$ số có 3 chữ số có chữ số hàng đơn vị chẵn, 2 chữ số còn lại lẻ.

$\Rightarrow n\left( {{B_2}} \right) = 100 + 125 + 125 = 350 \Rightarrow P\left( {{B_2}} \right) = \frac{{n\left( {{B_2}} \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{350}}{{900}} = \frac{7}{{18}}$

Vì ${B_1}$ và ${B_2}$ là hai biến cố xung khắc nên ta có:

$P\left( B \right) = P\left( {{B_1} \cup {B_2}} \right) = P\left( {{B_1}} \right) + P\left( {{B_2}} \right) = \frac{1}{9} + \frac{7}{{18}} = \frac{1}{2}$