Bài 12 trang 128 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Lấy các điểm $M,N$ lần lượt thuộc các đường chéo $AC$ và $BF$ sao cho $MC = 2MA;NF = 2NB$. Qua $M,N$ kẻ các đường thẳng song song với $AB$, cắt các cạnh $AD,AF$ lần lượt tại ${M_1},{N_1}$. Chứng minh rằng:

a) $MN\parallel DE$;

b) ${M_1}{N_1}\parallel \left( {DEF} \right)$;

c) $\left( {MN{N_1}{M_1}} \right)\parallel \left( {DEF} \right)$.

Lời giải chi tiết

a) Vì AI // CD nên $\frac{{AI}}{{CD}} = \frac{{IM}}{{MD}} = \frac{{AM}}{{MC}} = \frac{1}{2}$ (định lý Thales).

Vì IB // EF nên $\frac{{IB}}{{EF}} = \frac{{IN}}{{NE}} = \frac{{BN}}{{NF}} = \frac{1}{2}$ (định lý Thales).

Do đó $\frac{{IM}}{{MD}} = \frac{{IN}}{{NE}} = \frac{1}{2}$, suy ra MN // DE (định lý Thales đảo).

b) Theo giả thiết, AB // $M{M_1}$ và $M{M_1}$ không thuộc (ABEF) nên $M{M_1}$ // (ABEF).

c) Ta có $M{M_1}$ // AB // EF, suy ra $M{M_1}$ // (DEF) (1)

Vì $N{N_1}$ // AB nên $\frac{{A{N_1}}}{{{N_1}F}} = \frac{{BN}}{{NF}} = \frac{1}{2}$ (định lý Thales).

Vì $M{M_1}$ // AB nên $\frac{{A{M_1}}}{{{M_1}D}} = \frac{{AM}}{{MC}} = \frac{1}{2}$ (định lý Thales).

Do đó $\frac{{A{N_1}}}{{{N_1}F}} = \frac{{A{M_1}}}{{{M_1}D}} = \frac{1}{2}$, suy ra ${M_1}{N_1}$ // DF và ${M_1}{N_1}$ // (DEF) (2).

Mà $M{M_1}$ cắt ${M_1}{N_1}$ (3).

Từ (1), (2), (3) suy ra $(MN{N_1}{M_1})$ // (DEF).