Bài 12 trang 106 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn tâm $O$ bán kính $5cm$, dây $AB$ bằng $8cm$.

a) Tính khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$. 

b) Gọi $I$ là điểm thuộc dây $AB$ sao cho $AI=1cm$. Kẻ dây $CD$ đi qua $I$ và vuông góc với $AB$. Chứng minh rằng $CD=AB$.

Lời giải chi tiết

a) Kẻ $OH\perp AB$ tại H

Khi đó, đường tròn (O) có OH là 1 phần đường kính vuông góc với dây AB tại H

Suy ra $H$ là trung điểm của dây $AB$ (Theo định lí 2 - trang 103) 

$\Rightarrow HA=HB=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{8}{2}=4cm.$

Xét tam giác $HOB$ vuông tại $H$, theo định lí Pytago, ta có:

$OB^2=OH^2+HB^2 \Leftrightarrow OH^{2}=OB^{2}-HB^{2}$

$\Leftrightarrow OH^2=5^{2}-4^{2}=25-16=9\Rightarrow OH=3(cm)$.

Vậy khoảng cách từ tâm $O$ đến dây $AB$ là $3cm$.

b) Vẽ $OK\perp CD$ tại K

Tứ giác $KOHI$ có ba góc vuông $(\widehat K=\widehat H=\widehat I=90^0)$ nên là hình chữ nhật, suy ra $OK=HI$.

Ta có $HI=AH-AI=4-1=3cm$, suy ra $OK=3cm.$

Vậy $OH=OK = 3cm.$

Hai dây $AB$ và $CD$ cách đều tâm nên chúng bằng nhau.

Do đó $AB = CD.$

Loigiaihay.com