Bài 11 trang 114 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là một hình thoi tâm $I$ cạnh $a$ và có góc $A$ bằng $60^{0},$ cạnh $SC=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$ và $SC$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.

a) Chứng minh mặt phẳng $(SBD)$ vuông góc với mặt phẳng $(SAC)$. 

b) Trong tam giác $SCA$ kẻ $IK$ vuông góc với $SA$ tại $K$. Hãy tính độ dài $IK$

c) Chứng minh $\widehat{BKD}=90^{0}$ và từ đó suy ra mặt phẳng $(SAB)$ vuông góc với mặt phẳng $(SAD)$.

Lời giải chi tiết

a) $SC \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SC \bot BD\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

$ABCD$ là hình thoi nên $AC\bot BD\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $BD ⊥ (SAC)$.

Mà $BD\subset (SBD)\Rightarrow (SBD) ⊥ (SAC)$.

b) Xét tam giác $ABD$ có $AB=AD$ và góc $A=60^0$ nên là tam giác đều.

Do đó $AI=\dfrac {a\sqrt 3 }  2\Rightarrow AC = 2AI = a\sqrt 3$

$SC \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SC \bot CA$ nên tam giác $SAC$ vuông tại $C$.

Xét tam giác vuông $SAC$ có: $SA=\sqrt {A{C^2} + S{C^2}}  = \sqrt {3{a^2} + \dfrac {6{a^2}}  4}$ $=\dfrac{3a}{\sqrt{2}}.$ 

Xét $\Delta SCA$ và $\Delta IKA$ có:

$\left\{ \begin{array}{l} A\, \text {chung}\\ \widehat {SCA} = \widehat {IKA} = {90^0} \end{array} \right.$

$\Rightarrow$ $\Delta SCA \backsim \Delta IKA\,\,\left( {g.g} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{IK}{SC}=\dfrac{AI}{AS}$ $\Rightarrow IK=\dfrac{AI.SC}{AS}=\dfrac{a}{2}.$

c) Dễ thấy $\Delta ABD$ đều nên $BD = a$ $\Rightarrow IK = \dfrac{1}{2}BD$ nên $\Delta BKD$ vuông tại $K$.

Vậy $\widehat{BKD}=90^{0}.$

Ta có: $BD \bot \left( {SAC} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow BD \bot SA$

$\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SA\\IK \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {BKD} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA \bot BK\\SA \bot DK\end{array} \right.$

Ta có: 

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\\ \left( {SAB} \right) \supset BK \bot SA\\ \left( {SAD} \right) \supset DK \bot SA \end{array} \right.\\ \end{array}$

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $BK$ và $DK$ là góc $\widehat{BKD}=90^{0}.$ (đpcm)

Loigiaihay.com