Bài 10 trang 78 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

LG a

$\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }  = 2;$

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$4 \pm 2\sqrt 3$

$= {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \pm 2\sqrt 3  + 1$

$= {\left( {\sqrt 3  \pm 1} \right)^2}$

nên

$\sqrt {4 + 2\sqrt 3 }  - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 }$

$\begin{array}{l} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} \\ = \left| {\sqrt 3 + 1} \right| - \left| {\sqrt 3 - 1} \right|\\ = \left( {\sqrt 3 + 1} \right) - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)\\ = 2 \end{array}$

LG b

$\root 3 \of {9 + \sqrt {80} }  + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} }  = 3$

Phương pháp giải:

Áp dụng hằng đẳng thức ${\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + {B^3} + 3AB\left( {A + B} \right)$

Lời giải chi tiết:

Đặt $x = \root 3 \of {9 + \sqrt {80} }  + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} }$

Ta có ${x^3} = {\left( {\root 3 \of {9 + \sqrt {80} }  + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } } \right)^3}$

$= 9 + \sqrt {80}  + 9 - \sqrt {80}$ $+ 3\root 3 \of {9 + \sqrt {80} } .\root 3 \of {9 - \sqrt {80} }$$.\left( {\root 3 \of {9 + \sqrt {80} }  + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} } } \right)$

$= 18 + 3\root 3 \of {81 - 80} .x = 18 + 3x$.

Do đó: ${x^3} - 3x - 18 = 0\,\,\left( * \right)$

Mà ${x^3} - 3x - 18$ $= \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 6} \right)$ nên (*) $\Leftrightarrow$ x=3

(vì ${x^2} + 3x + 6 > 0,\forall x$)

Vậy $\root 3 \of {9 + \sqrt {80} }  + \root 3 \of {9 - \sqrt {80} }  = 3$

Loigiaihay.com