Bài 10 trang 180 SGK Đại số và Giải tích 11

LG a

$\lim {{(n + 1){{(3 - 2n)}^2}} \over {{n^3} + 1}}$

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho $n^3$.

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{ & \lim {{(n + 1){{(3 - 2n)}^2}} \over {{n^3} + 1}} = \lim {{(1 + {1 \over n}){{({3 \over n} - 2)}^2}} \over {1 + {1 \over {{n^3}}}}} \cr & = {{(1 + 0){{(0 - 2)}^2}} \over {1 + 0}} = 4 \cr}$

Quảng cáo

LG b

$\lim ({1 \over {{n^2} + 1}} + {2 \over {{n^2} + 1}} + {3 \over {{n^2} + 1}} + ... + {{n - 1} \over {{n^2} + 1}})$

Phương pháp giải:

Cộng các phân số cùng mẫu số, sử dụng kết quả: $1 + 2 + ... + n - 1 = \dfrac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2}$. Sau đó chia cả tử và mẫu cho $n^2$.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} \frac{1}{{{n^2} + 1}} + \frac{2}{{{n^2} + 1}} + \frac{3}{{{n^2} + 1}} + ... + \frac{{n - 1}}{{{n^2} + 1}}\\ = \frac{{1 + 2 + ... + n - 1}}{{{n^2} + 1}} = \frac{{\frac{{n(n - 1)}}{2}}}{{{n^2} + 1}} = \frac{{{n^2} - n}}{{2({n^2} + 1)}}\\ = \lim (\frac{1}{{{n^2} + 1}} + \frac{2}{{{n^2} + 1}} + \frac{3}{{{n^2} + 1}} + ... + \frac{{n - 1}}{{{n^2} + 1}})\\ = \lim \frac{{{n^2} - n}}{{2({n^2} + 1)}} = \lim \frac{{\frac{{{n^2} - n}}{{{n^2}}}}}{{2.\frac{{{n^2} + 1}}{{{n^2}}}}} = \lim \frac{{1 - \frac{1}{n}}}{{2(1 + \frac{1}{{{n^2}}})}} = \frac{1}{2} \end{array}$

LG c

$\lim {{\sqrt {4n^2 + 1}  + n} \over {2n + 1}}$

Phương pháp giải:

Chia cả tử và mẫu cho $n^2$, lưu ý căn bậc hai.

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{ & \lim {{\sqrt {4n^2 + 1} + n} \over {2n + 1}} \cr & = \lim {{n.\sqrt {4 + {1 \over {{n^2}}}} + n} \over {2n + 1}} \cr & = \lim {{n.(\sqrt {4 + {1 \over {{n^2}}}} + 1)} \over {n(2 + {1 \over n})}} \cr & = \lim {{\sqrt {4 + {1 \over {{n^2}}}} + 1} \over {2 + {1 \over n}}} \cr & = {{2 + 1} \over 2} = {3 \over 2} \cr}$

LG d

$\lim \sqrt n (\sqrt {n - 1}  - \sqrt n )$

Phương pháp giải:

Nhân chia biểu thức dưới dấu $\lim$ với biểu thức liên hợp của $\sqrt {n - 1}  - \sqrt n$, sau đó chia cả tử và mẫu của phân thức mới cho $\sqrt{n}$.

Lời giải chi tiết:

$\eqalign{ & \lim \sqrt n (\sqrt {n - 1} - \sqrt n ) \cr  & = \lim {{\sqrt n (\sqrt {n - 1} - \sqrt n )(\sqrt {n - 1} + \sqrt n )} \over {\sqrt {n - 1} + \sqrt n }} \cr  & = \lim {{\sqrt n \left[ {(n - 1) - n} \right]} \over {\sqrt {n - 1} + \sqrt n }} \cr  & = \lim {{ - \sqrt n } \over {\sqrt n \left[ {\sqrt {1 - {1 \over n}} + 1} \right]}} \cr  & = \lim {{ - 1} \over {\sqrt {1 - {1 \over n}} + 1}} = - {1 \over 2} \cr}$

Loigiaihay.com