Bài 12 trang 180 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số \(y = \cos x\) không có giới hạn khi \(x \rightarrow + ∞\)

Lời giải chi tiết

Hàm số \(f(x) = \cos x\) có tập xác định \(D = \mathbb R\)

Chọn dãy số \((x_n)\) với \( x_n= n2 π\) (\(n\in {\mathbb N}^*\)).

Ta có: \(\lim x_n= \lim (n2 π) = +∞\)

 \( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \lim f({x_n}) = \lim \cos (n2\pi ) = \lim 1 \) \(= 1\)

Chọn dãy số \((x_n)\) với \({x_n} = {\pi  \over 2} + n2\pi (n \in {\mathbb N^*})\)

Ta có:

\(\eqalign{
& \lim {x_n}({\pi \over 2} + n2\pi ) = + \infty \cr 
& \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \lim f({x_n}) \cr 
& = \lim \left[ {\cos ({\pi \over 2} + n2\pi )} \right] = \lim 0 = 0 \cr} \)

Từ hai kết quả trên, suy ra hàm số \(y = \cos x\) không có giới hạn khi \(x \rightarrow + ∞\)

Loigiaihay.com