Bài 10 trang 114 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng $a$. Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.

a) Tính độ dài đoạn thẳng $SO$.

b) Gọi $M$ là trung điểm của đoạn $SC$. Chứng minh hai mặt phẳng $(MBD)$ và $(SAC)$ vuông góc với nhau.

c) Tính độ dài đoạn $OM$ và tính góc giữa hai mặt phẳng $(MBD)$ và $(ABCD)$.

Lời giải chi tiết

a) Hình chóp tứ giác đều nên $SO \, \bot  \, (ABCD)$. Do đó $SO \, \bot  \, AC$

Tam giác ABD vuông tại A nên $BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = a\sqrt 2$ $\Rightarrow AO = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Xét tam giác $SOA$ vuông tại $O$:

$SO = \sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.$

b) $BD \, \bot  \, AC$ , $BD \, \bot  \, SO$ nên $BD \,  \bot \,  (SAC)$,

Mà $BD ⊂ (MBD)$ do đó $(MBD) ⊥ (SAC)$.

c) $OM =\dfrac{SC}{2}=\dfrac{a}{2}$ (trung tuyến ứng với  cạnh huyền của tam giác vuông thì bằng nửa cạnh ấy). 

$\Delta SDC = \Delta SBC(c.c.c)$ suy ra $DM=BM$ suy ra tam giác $BDM$ cân tại $M$

$OM$ vừa là trung tuyến đồng thời là đường cao nên $OM \, \bot  \, BD$

$\left. \matrix{ (MBD) \cap (ABCD) = BD \hfill \cr OM  \, \bot  \, BD \hfill \cr OC  \, \bot  \, BD \hfill \cr} \right\}$

$\Rightarrow$ góc giữa hai mặt phẳng $(MBD)$ và $(ABCD)$ là $\widehat {MOC}$

Ta có $OM=\dfrac{SC}{2}=\dfrac{a}{2}$ hay $OM=MC$

Tam giác $OMC$ vuông cân tại $M$ nên $\widehat{MOC}=45^{0}.$

Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(MBD)$ và $(ABCD)$ là $45^0$.

Loigiaihay.com