Bài 1 trang 77 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hai hình thang $ABCD$ và $ABEF$ có chung đáy lớn $AB$ và không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Tìm giao tuyến của các mặt phắng sau: $(AEC)$ và $(BFD)$, $(BCE)$ và $(ADF)$.

b) Lấy $M$ là điểm thuộc $DF$. Tìm giao điểm của đường thẳng $AM$ với mặt phẳng $(BCE)$.

c) Chứng minh hai đường thẳng $AC$ và $BF$ không cắt nhau.

Lời giải chi tiết

a) Trong $(ABCD)$, gọi $I=AC ∩ BD$. 

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}I \in AC \subset \left( {AEC} \right)\\I \in BD \subset \left( {BFD} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow I \in \left( {AEC} \right) \cap \left( {BFD} \right)$.

Trong $( ABEF)$, gọi $J=AE ∩ BF$

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}J \in AE \subset \left( {AEC} \right)\\J \in BF \subset \left( {BFD} \right)\end{array} \right.$$\Rightarrow J \in \left( {AEC} \right) \cap \left( {BFD} \right)$.

Vậy $(ACE) ∩ (BDF) = IJ$.

Trong $\left( {ABCD} \right)$: gọi $G = AD \cap BC$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}G \in AD \subset \left( {ADF} \right)\\G \in BC \subset \left( {BCE} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow G \in \left( {ADF} \right) \cap \left( {BCE} \right)$.

Trong $\left( {ABEF} \right)$: gọi $H = AF \cap BE$.

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}H \in AF \subset \left( {ADF} \right)\\H \in BE \subset \left( {BCE} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow H \in \left( {ADF} \right) \cap \left( {BCE} \right)$.

Vậy $(BCE) ∩ ( ADF) = GH$

b) Trong $(AGH)$: Gọi $N=AM ∩ GH$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}N \in AM\\N \in GH \subset \left( {BGH} \right) \equiv \left( {BCE} \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow N = AM \cap \left( {BCE} \right)$

c) Chứng minh bằng phương pháp phản chứng.

Giả sử $AC$ và $BF$ cùng nằm trong một mặt phẳng.

Khi đó $BF \subset \left( {ABCD} \right)$ hay hai mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ và $\left( {ABEF} \right)$ trùng nhau (mâu thuẫn giả thiết)

Do đó: $AC$ và $BF$ không cắt nhau.

Loigiaihay.com