Bài 4 trang 78 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình bình hành $ABCD$. Qua $A, B, C, D$ lần lượt vẽ bốn nửa đường thẳng $Ax, By, Cz, Dt$ ở cùng phía đối với mặt phẳng $(ABCD)$, song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$. Một mặt phẳng $(β)$ lần lượt cắt $Ax, By, Cz$ và $Dt$ tại $A', B', C'$ và $D'$.

a) Chứng minh mặt phẳng $(Ax, By)$ song song với mặt phẳng $( Cz, Dt)$

b) Gọi $I =  AC ∩ BD, J = A'C' ∩ B'D'$. Chứng minh $IJ$ song song với $AA'$

c) Cho $AA' = a, BB' = b, CC' = c$. Hãy tính $DD'$.

Lời giải chi tiết

a) $Ax // Dt$ (giả thiết) $\Rightarrow Ax//\left( {Cz,Dt} \right)$ (1)

$AB // CD$ (vì $ABCD$ là hình bình hành).

Mà $CD \subset \left( {Cz,Dt} \right)$ $\Rightarrow AB//\left( {Cz,Dt} \right)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\left( {Ax,AB} \right)//\left( {Cz,Dt} \right)$ hay $(Ax, By) // ( Cz, Dt)$

b) Ta có  $(Ax, By) // ( Cz, Dt)$.

Mặt phẳng $(A'B'C'D')$ lần lượt cắt hai mặt phẳng $(Ax, By)$ và $( Cz, Dt)$ theo giao tuyến $A'B'$ và $C'D'$ $\Rightarrow A'B'//C'D'$.

Tương tự ta chứng minh được: $A'D'//B'C'$

Do đó $A'B'C'D'$ là hình bình hành.

$J=A'C'\cap B'D'$ nên $J$ là trung điểm của $A'C'$.

$A'C'CA$ là hình thàng vì $AA'//CC'$. Mà $I$ là trung điểm $AC$ nên $IJ$ là đường trung bình hình thang $A'C'CA$.

Vậy $IJ$//$AA'$.

c) Chứng minh tương tự ta có $IJ$ là đường trung bình của hình thang $BDD'B'$.

Theo tính chất của đường trung bình hình thang ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} IJ = \frac{1}{2}\left( {AA' + CC'} \right)\\ IJ = \frac{1}{2}\left( {BB' + DD'} \right) \end{array} \right.$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} AA' + CC' = 2IJ\\ BB' + DD' = 2IJ \end{array} \right.$

Do đó : $AA'+CC'=BB'+DD'$ $\Rightarrow DD'=AA'+CC'-BB'$

$\Rightarrow DD' = a + c - b$.

Loigiaihay.com