Bài 1 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Đề bài

Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a)     \(y = \frac{1}{{2x + 3}}\)

b)    \(y = {\log _3}x\)

c)     \(y = {2^x}\)

Lời giải chi tiết

a,

\(\begin{array}{l}y' = \left( {\frac{1}{{2x - 3}}} \right)' =  - \frac{2}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow y'' = \left( { - \frac{2}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}} \right)' = \left( { - 2.\frac{1}{{\left( {2x - 3} \right){}^{^2}}}} \right)' =  - 2\frac{{\left( {{{\left( {2x - 3} \right)}^2}} \right)'}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^4}}} =  - 2\frac{{2.\left( {2x - 3} \right).2}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^4}}}\\ =  - \frac{8}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^3}}}\end{array}\)

b,

\(\begin{array}{l}y' = \left( {{{\log }_3}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln 3}}\\ \Rightarrow y'' = \left( {\frac{1}{{x\ln 3}}} \right)' =  - \frac{{\left( {x\ln 3} \right)'}}{{{{\left( {x\ln 3} \right)}^2}}} =  - \frac{{\ln 3}}{{{{\left( {x\ln 3} \right)}^2}}} =  - \frac{{\ln 3}}{{{{\left( {x\ln 3} \right)}^2}}} =  - \frac{1}{{x.\ln 3}}\end{array}\)

c,

\(\begin{array}{l}y' = \left( {{2^x}} \right)' = {2^x}.\ln 2\\ \Rightarrow y'' = \left( {{2^x}.\ln 2} \right)' = {2^x}.\ln 2.\ln 2 = {2^x}.{\left( {\ln 2} \right)^2}\end{array}\)