Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1. Kiến thức cần nhớ

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm ${x_0}$. Khi đó:

2. Một số dạng toán thường gặp

Dạng 1: Tiếp tuyến tại điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc đồ thị hàm số.

Cho hàm số $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ và điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến với $\left( C \right)$ tại $M$.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính đạo hàm $f'\left( x \right)$ và tìm hệ số góc của tiếp tuyến $k = f'\left( {{x_0}} \right)$.

- Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại $M$: $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$.

Dạng 2: Tiếp tuyến có hệ số góc $k$ cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Gọi $\left( \Delta  \right)$ là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc $k$.

- Bước 2: Giả sử $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là tiếp điểm. Khi đó ${x_0}$ thỏa mãn $f'\left( {{x_0}} \right) = k$.

- Bước 3: Giải phương trình trên tìm ${x_0} \Rightarrow {y_0} = f\left( {{x_0}} \right)$.

- Bước 4: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: $y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}$.

Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua một điểm.

Cho đồ thị hàm số $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ và điểm $A\left( {a;b} \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến với $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến đi qua $A$.

Phương pháp:

- Bước 1: Gọi $\Delta$ là đường thẳng qua $A$ và có hệ số góc $k$. Khi đó $\Delta :y = k\left( {x - a} \right) + b$

- Bước 2: Để $\Delta$ là tiếp tuyến của $\left( C \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = k\left( {x - a} \right) + b\\f'\left( x \right) = k\end{array} \right.$  có nghiệm.

- Bước 3: Giải hệ phương trình trên tìm $k$, thay vào ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.