Phương trình mặt cầu trong không gian

- Dạng 1: Phương trình chính tắc của mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\) là:

\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\)     (1)

- Dạng 2: Phương trình tổng quát của mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\)    (2)

Phương trình (2) có tâm \(I\left( { - a; - b; - c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

Do đó điều kiện cần và đủ để (2) là phương trình mặt cầu là \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\)

Dạng 1: Nhận biết các yếu tố từ phương trình mặt cầu.

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa tâm và bán kính mặt cầu:

- Mặt cầu có phương trình dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\) có tâm \(\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\).

- Mặt cầu có phương trình dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( { - a; - b; - c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu.

Phương pháp chung:

Cách 1: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng tổng quát.

- Tìm tâm và bán kính mặt cầu, từ đó viết phương trình theo dạng 1 nêu ở trên.

Cách 2: Sử dụng phương trình mặt cầu dạng khai triển.

- Gọi mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\)

- Sử dụng điều kiện bài cho để tìm \(a,b,c,d\).

Một số bài toán hay gặp:

- Viết phương trình mặt cầu với tâm và bán kính đã cho.

- Mặt cầu có đường kính \(AB\): tâm là trung điểm của \(AB\) và bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2}\).

- Mặt cầu đi qua \(4\) điểm \(A,B,C,D\):

* Cách 1:

+) Gọi mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\)

+) Thay tọa độ các điểm bài cho vào phương trình và tìm \(a,b,c,d\).

*Cách 2:

+) Gọi I(a,b,c) là tâm của mặt cầu.

+) Lập hệ phương trình 

\(\left\{ \begin{array}{l}IA = IB\\IA = IC\\IA = ID\end{array} \right.\)

tìm a, b, c.

+) Bán kính \(R=IA\).

* Cách 3:

+) Tìm mặt phẳng trung trực của các đoạn thẳng AB, AC, AD. Mặt phẳng trung trực của AB đi qua trung điểm của AB và nhận AB làm một vectơ pháp tuyến.

+) Tâm mặt cầu là giao của 3 mặt phẳng đó.

+) Bán kính \(R=IA\).

Dạng 3: Tìm tham số để mặt cầu thỏa mãn điều kiện cho trước.

- Mặt cầu đi qua một điểm nếu tọa độ điểm đó thỏa mãn phương trình mặt cầu.

3. Bài tập về phương trình mặt cầu trong không gian

Bài 1. Trong không gian $Oxyz$ cho mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y + 2z - 3 = 0\). Tính bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$.

A. $R = 3$

B. $R = 9$          

C. \(R = \sqrt 3 \)

D. \(R = 3\sqrt 3 \)

Lời giải: Phương trình có dạng \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a =  - 1,b = 2,c = 1,d =  - 3\).

Ta có công thức \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}  = \sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {1^2} - ( - 3)}  = 3\) 

Chọn đáp án A

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu \({(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 4)^2} = 20\).

A. $I\left( { - 1,2, - 4} \right)$ và \(R = 5\sqrt 2 \)         

B. $I\left( { - 1,2, - 4} \right)$ và \(R = 2\sqrt 5 \) 

C. $I\left( {1, - 2,4} \right)$ và $R = 20$          

D. $I\left( {1, - 2,4} \right)$ và \(R = 2\sqrt 5 \)

Lời giải: Phương trình có dạng \({(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}\) với \(a = 1,b =  - 2,c = 4\) và \(R = 2\sqrt 5 \)

có tâm \(I\left( {1; - 2;4} \right)\).

Chọn đáp án D.

Bài 3. Mặt cầu tâm \(I\left( {0;0;1} \right)\) bán kính \(R = \sqrt 2 \) có phương trình:

A. \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \sqrt 2 \)           

B. \({x^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = \sqrt 2 \)

C. \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\)         

D. \({x^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 2\)

Lời giải: Mặt cầu tâm \(I\left( {0;0;1} \right)\) bán kính \(R = \sqrt 2 \) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 2\)

Chọn đáp án C.

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tập tất cả giá trị của tham số \(m\) để mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2my - 4z + m + 5 = 0\)  đi qua điểm $A\left( {1;1;1} \right)$.

A. \(\emptyset \)

B. \(\left\{ { - \dfrac{2}{3}} \right\}\)

C. \(\left\{ 0 \right\}\)

D. \(\left\{ {\dfrac{1}{2}} \right\}\)

Lời giải: $\left( S \right)$ có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a = -1,b =  m,c = -2\) và \(d = m + 5\).

$\left( S \right)$ là phương trình mặt cầu khi ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0 \Leftrightarrow 5 + {m^2} - (m + 5) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - m > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 1}\\{m < 0}\end{array}} \right.\)

Điểm $A\left( {1,1,1} \right)$ thuộc phương trình mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2my - 4z + m + 5 = 0\) thì ta có

\({1^2} + {1^2} + {1^2} - 2.1 + 2m.1 - 4.1 + m + 5 = 0 \Leftrightarrow 2 + 3m = 0 \Leftrightarrow m =  - \dfrac{2}{3}\) (thỏa mãn)

Chọn đáp án B.

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 4z + m = 0\)  là phương trình của một mặt cầu.

A. \(m > 6\)

B. \(m \ge 6\)

C. \(m \le 6\)

D. \(m < 6\)

Lời giải: $\left( S \right)$ có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) với \(a =  - 1,b =  - 1,c =  - 2\)  và \(d = m\).

$\left( S \right)$ là phương trình mặt cầu khi ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0 \Leftrightarrow 6 - m > 0 \Leftrightarrow m < 6\)

Chọn đáp án D.