Các dạng toán về mặt cầu và mặt phẳng

Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc hoặc cắt mặt phẳng cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính bán kính mặt cầu dựa vào các điều kiện bài cho:

+ Tiếp xúc mặt phẳng nếu \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R\)

+ Cắt mặt phẳng theo giao tuyến và đường tròn bán kính \(r\) thì \(R^2 = {r^2} + {d^2}\left( {I,\left( P \right)} \right)\)

- Bước 2: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính.

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng \((P)\) tiếp xúc, giao với mặt cầu cho trước.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm VTPT của mặt phẳng \((P)\) dựa vào điều kiện bài cho.

+ Tiếp xúc mặt cầu tại điểm \(H\) thì \(\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {IH} \)

+ Trường hợp \((P)\) song song với mặt phẳng \((Q):ax+by+cz+d=0\) (\(a,b,c,d\) là các số cho trước) và cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính \(r\) thì \(\overrightarrow {{n_P}}  = \overrightarrow {{n_Q}} \) tức là \((P):ax+by+cz+d'=0\).

và \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \).

- Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng.

+ Tiếp xúc mặt cầu tại điểm \(H\): Xác định điểm \(H\) rồi lập phương trình mặt phẳng.

+ Trường hợp \((P)\) song song với mặt phẳng \((Q):ax+by+cz+d=0\) (\(a,b,c,d\) là các số cho trước) và cắt mặt cầu theo đường tròn có bán kính \(r\):

Sử dụng \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \sqrt {{R^2} - {r^2}} \) để tìm d'.