Lý thuyết số thập phân hữu hạn. Số thập phân vô hạn tuần hoàn

I. Các kiến thức cần nhớ

Ví dụ: \(\dfrac{1}{4} = 0,25;\dfrac{{13}}{{50}} = 0,26;...\)

2. Số thập phân vô hạn tuần hoàn

Ví dụ: \( - \dfrac{5}{6} =  - 0,8\left( 3 \right);\dfrac{1}{9} = 0,\left( 1 \right)...\)

+) Phân số \(\dfrac{3}{{20}}\) có mẫu là \(20=2^2.5\) chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5 nên viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. Ta có: \(\dfrac{3}{{20}} = 0,15\)

+) Phân số \(\dfrac{7}{{30}}\) có mẫu là \(30=2.3.5\) có ước nguyên tố khác 2 và 5 là 3 nên viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ta có: \(\dfrac{7}{{30}} = 0,2(3)\)

Chú ý: Mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi một số thập phân hữu hạn tuần hoàn hoặc vô hạn tuần hoàn. Ngược lại, mỗi số thập phân hữu hạn tuần hoàn hoặc vô hạn tuần hoàn biểu diễn một số hữu tỉ.

II. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Nhận biết một phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

Phương pháp:

Bước 1: Viết phân số dưới dạng phân số tối giản với mẫu số dương

Bước 2: Phân tích mẫu số ra thừa số nguyên tố

Bước 3: Nếu mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn. Nếu mẫu có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Dạng 2: Viết một phân số hoặc tỉ số dưới dạng số thập phân 

Phương pháp:

Để viết phân số \(\dfrac{a}{b}\) dưới dạng số thập phân ta thực hiện phép chia \(a:b\).

Dạng 3: Viết số thập phân hữu hạn dưới dạng phân số tối giản

Phương pháp:

+ Viết số thập phân hữu hạn dưới dạng phân số có tử số là số nguyên tạo bởi phần nguyên và phần thập phân của số đó, mẫu số là một lũy thừa cơ số \(10\) với số mũ bằng số chữ số ở phần thập phân của số đã cho.

+ Rút gọn phân số

Ví dụ: \(1,25 = \dfrac{{125}}{{{{10}^2}}} = \dfrac{{125}}{{100}} = \dfrac{5}{4}\).

Dạng 4: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số tối giản

Phương pháp:

Ta cần các kiến thức sau để làm dạng toán này:

+ Số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn có chu kỳ bắt đầu ngay sau dấu phẩy,

 ví dụ:  $0,\left( {21} \right);5,\left( {123} \right);....$

 + Số thập phân vô hạn tuần hoàn  tạp thì chu kỳ không bắt đầu ngay sau dấu phẩy,

 ví dụ:  $1,5\left( {31} \right);0,01\left( {123} \right);....$

 (phần đứng sau dấu phẩy nhưng đứng trước chu kì gọi là phần bất thường). 

* Cách chuyển số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số: 

1. Số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn

\(0,(a) = \dfrac{a}{9}\); \(0,\left( {ab} \right) = \dfrac{{ab}}{{99}}\);…

Ví dụ: Chuyển $0,\left( 3 \right)$  sang phân số.

Ta có: $0,\left( 3 \right) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}.$

Chuyển $0,\left( {25} \right)$ sang phân số.

Ta có: $0,\left( {25} \right) = 25/99$

2. Số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp

+) Lấy số tạo bởi phần bất thường và chu kì trừ đi phần bất thường làm tử. 

+) Mẫu số là số gồm các chữ số $9$ và kèm theo là các chữ số $0$; số chữ số $9$ bằng số chữ số trong chu kỳ, số chữ số 0 bằng số chữ số của phần bất thường. 

Ví dụ: Chuyển $0,1\left( 6 \right)$ sang phân số. Ta có: $0,1\left( 6 \right) = \dfrac{{16 - 1}}{{90}} = \dfrac{{15}}{{90}} = \dfrac{1}{6}.$

Chú ý:

Nếu một số có cả phần nguyên lần phần thập phân thì ta nên chuyển phần thập phân trước rồi cộng với phân nguyên.

Ví dụ: Chuyển $5,3(18)$ sang phân số.

Ta có: $0,3\left( {18} \right) = \dfrac{{318 - 3}}{{990}} = \dfrac{{315}}{{990}} = \dfrac{7}{{22}}.$

Do đó $5,3\left( {18} \right) = 5 + 0,3\left( {18} \right) = 5 + \dfrac{7}{{22}} = \dfrac{{117}}{{22}}.$

Dạng 5: Thực hiện phép tính. Tìm x liên quan đến các số thập phân.

Phương pháp:

+ Viết các số thập phân dưới dạng phân số theo các qui tắc đã học.

+ Thực hiện phép tính với các phân số .

+ Đưa về dạng tìm \(x\) đã biết đối với các bài toán tìm \(x.\)